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In der historischen Entwicklung der Differenzialrechnung spielte das sogenannte Tangentenproblem eine große Rolle.

Ist f eine nichtrationale Funktion mit der Gleichung y = f(x), dann ist es nicht möglich, zur Annäherung von y = f(x) ein Polynom n-ter Ordnung zu verwenden, dessen Koeffizienten mit den Ableitungen von y = f(x) an der Stelle $x_0$ in derselben Weise gebildet werden, wie die Koeffizienten der TAYLOR-Entwicklung einer ganzrationalen Funktion.

Dies ergibt sich bereits daraus, dass – im Unterschied zu ganzrationalen Funktionen n-ten Grades – die (n + 1)-te Ableitung und alle weiteren Ableitungen einer nichtrationalen Funktion im Allgemeinen nicht identisch gleich null sind.

Das heißt: Die Entwicklung einer solchen Funktion an einer Stelle $x_0$ „bricht nicht ab“, sondern würde zu einer Summe mit unendlich vielen Summanden (Reihe) führen. Man spricht deshalb auch von der Entwicklung einer Funktion in eine TAYLOR-Reihe.
An zwei Beispielen wird gezeigt, dass sich die Sinus- und auch die Kosinusfunktion in eine TAYLOR-Reihe entwickeln lassen.

Wie aus der Differenzialrechnung bekannt ist, liefert für eine differenzierbare Funktion f die Tangentenfunktion $f_t$ gute Näherungen der Funktionswerte von f. Im Folgenden wird der der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten des Näherungspolynoms und den Ableitungen der gegebenen Funktion untersucht.

Aufgabe der (allgemeinen) Interpolation ist es, zu n + 1 Punkten $P_0,P_1,P_2,\mathrm{...,}{P}_n$ ein Polynom (möglichst kleinen Grades) mit der Eigenschaft $p\left(x_i\right)=y_i(miti=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}n)$ zu finden.
Dies ist mit dem newtonschen sowie dem lagrangeschen Interpolationsverfahren möglich, wobei das erstere Verfahren die größere praktische Bedeutung hat.

Als Beispiel für die Anwendung der Integralrechnung wird im Folgenden die mechanische Arbeit einer Wärmekraftmaschine im Allgemeinen und die vom Kolben eines Viertakt-Ottomotors verrichtete Arbeit im Besonderen betrachtet.

* etwa 287 v.Chr.
† 212 v.Chr.

ARCHIMEDES VON SYRAKUS zählt zu den bedeutendsten Mathematikern nicht nur der Antike. Viele seiner Ideen waren Ausgangspunkt für wissenschaftliche Arbeiten von Mathematikern verschiedenster Epochen.
ARCHIMEDES entwickelte Methoden zur Bestimmung des Schwerpunktes und des Inhalts von Flächen und Körpern. Er schrieb über Arithmetik und Astronomie. Des Weiteren beschäftigte er sich intensiv mit mathematischen Grundlagen physikalischer Prozesse.

Zum Begriff des bestimmten Integrals gelangt man über die Berechnung des Inhalts von Flächen unter den Graphen von Funktionen der Form $y=f\left(x\right)$, d.h. von Funktionen einer Variablen.
Überträgt man dieses Vorgehen auf Funktionen zweier Variablen der Form $z=f\left(x,y\right)$, so gelangt man zum Begriff des Bereichsintegrals (auch Gebietsintegral genannt).

Im Folgenden betrachten wir Überlegungen zur Definition des Begriffes „Bestimmtes Integral“.

Der Wert eines bestimmten Integrals hängt von der Integrandenfunktion und den Integrationsgrenzen ab. Bei gegebener Integrandenfunktion können sich Untersuchungen am bestimmten Integral auf die Überprüfung des Einflusses von Veränderungen der Integrationsgrenzen beschränken.

Für das Berechnen bestimmter Integrale von im Intervall [a; b] stetigen Funktionen f und g können folgende Regeln Anwendung finden:

• Regel zur Übereinstimmung bzw. Vertauschung von Integrationsgrenzen;
• Regel der Intervalladditivität;
• Faktorregel;
• Summenregel

Die Berechnung der Bogenlänge ist für die Bearbeitung innermathematischer und vieler technischer (insbesondere bautechnischer) Probleme bedeutsam.
Als Beispiele seien die Berechnung der Länge eines Parabelbogens, der Kettenlinie, einer Schleife oder eines Brückenbogens genannt.

* 1598 Mailand
† 30. November 1647 Bologna

BONAVENTURA FRANCESCO CAVALIERI lehrte in Bologna und arbeitete vor allem auf dem Gebiet der Geometrie. Seine Berechnungen zu Flächeninhalten und Volumina, insbesondere das Prinzip der Indivisiblen, bereiteten die Entwicklung von Methoden der Infinitesimalrechnung vor.

Neben vielen anderen Anwendungen ist die Mathematik in der Physik für die Definition physikalischer Größen bedeutsam. Im Folgenden wird die Arbeit im radialsymmetrischen elektrischen Feld berechnet, woraus dann weitere Größen gewonnen werden.

Aus der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals resultiert die Flächenberechnung als grundlegende Anwendung der Integralrechnung.
Dabei erfordern Unterschiede in Form und Lage der jeweiligen Flächen im Koordinatensystem spezifische Vorgehensweisen.
Man hat zu unterscheiden zwischen Flächen unter Funktionsgraphen, die im betrachteten Intervall

• ausschließlich oberhalb der x-Achse,
• ausschließlich unterhalb der x-Achse oder
• oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen, sowie
• Flächen, die zwischen zwei Funktionsgraphen liegen.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Flächeninhaltsberechnungen".

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WISSENSTEST

* 12. Juni 1577 Mels (St. Gallen)
† 3. November 1643 Graz

PAUL GULDIN war Professor für Mathematik, u.a. in Wien und Graz. In einem seiner Werke gibt er Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Rotationskörpern an. Diese sogenannten guldinschen Regeln sollen allerdings schon dem griechischen Mathematiker PAPPOS von Alexandria bekannt gewesen sein.

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung wird nach den Begründern der Infinitesimalrechnung häufig auch als Formel nach NEWTON-LEIBNIZ bezeichnet.
Er stellt den Zusammenhang zwischen der Differenzial- und Integralrechnung her und verbindet zwei Sachverhalte miteinander, denen völlig unterschiedliche Probleme zugrunde liegen.

Während die Differenzialrechnung in der Untersuchung des Tangentenproblems wurzelt, war die Beschäftigung mit Inhaltsproblemen Ausgangspunkt für die Entstehung der Integralrechnung.

Dabei erregte das Inhaltsproblem sehr viel früher das Interesse als die Frage danach, ob für einen beliebigen Funktionsgraphen in einem vorgegebenen Punkt die Tangente an den Graphen existiert und wie man ihre Steigung ermitteln kann.

Bereits vor der Phase der griechisch-hellenistischen Mathematik waren einfache Methoden zur Berechnung der Flächeninhalte einzelner Vielecke und der Volumina einfacher Körper bekannt – gekleidet in die Form von „Rezepten“.

Lässt sich bei der Integration gebrochenrationaler Funktionen der Funktionsterm nicht durch eine einfache Division in eine Summe umwandeln, so kann die Integration durch Partialbruchzerlegung angewendet werden.

Ist der Integrand eine unecht gebrochenrationale Funktion, so wird diese zunächst durch Partialdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt.

Den echt gebrochenrationalen Anteil schreibt man dann mittels Partialbruchzerlegung als eine Summe einfacher Teilbrüche.

Der Lösungsansatz für die Partialbruchzerlegung ist hierbei davon abhängig, ob die Funktion im Nenner einfache oder mehrfache, reelle oder komplexe Nullstellen hat.

Während beim Differenzieren elementarer Funktionen wieder elementare Funktionen entstehen, gibt es zahlreiche elementare Funktionen, deren unbestimmte Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen.
Scheinbar geringfügige Veränderungen im Funktionsterm erfordern u.U. völlig andere Lösungswege oder führen zu nicht mehr elementar integrierbaren Funktionen.

Als Beispiele seien die Funktionen $f\left(x\right)=x\cdot \sin xundg\left(x\right)=\frac{x}{\sin x}$ genannt:
Während die Funktion f mit der Methode der partiellen Integration elementar integrierbar ist, kann man das Integral der Funktion g nicht mit elementaren Mitteln berechnen. Ähnlich verhalten sich die Funktionen $f\left(x\right)=x\cdot e^{x}undg\left(x\right)=\frac{e^x}{x}$.

Bei der Integration von Produkten von Funktionen oder von verketteten Funktionen findet häufig die Substitutionsmethode Anwendung.

Ist im Integranden eines Integrals eine verkettete Funktion und außerdem noch die Ableitungsfunktion der inneren Funktion als Faktor vorhanden, so kann die Integration durch nichtlineare Substitution erfolgen.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Numerische Integration".

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WISSENSTEST

Im Unterschied zur Integration einer Summe von Funktionen, für die es eine einfache Integrationsregel (Summenregel) gibt, gestaltet sich das Integrieren eines Produktes von Funktionen weitaus schwieriger.
In einigen Fälle führt die Integration durch Substitution zum Ziel, doch in vielen Fällen kann man keine geeignete Substitution angeben.
Eine einfache Umkehrung der Differenziationregel für Produkte von Funktionen ist nicht möglich, jedoch bietet diese Regel den Zugang zu einem speziellen Integrationsverfahren, das auf der Produktregel der Differenzialrechnung fußt.
Es gilt die folgende Regel der partiellen Integration.

Für das Aufsuchen von Stammfunktionen (Ermitteln unbestimmter Integrale) helfen die Kenntnisse aus der Differenzialrechnung (Bilden von Ableitungsfunktionen). Diese reichen aber oftmals nicht aus – es bedarf der Verwendung spezieller Integrationsregeln.

Von grundlegender Bedeutung sind die Potenzregel, die Faktor- und die Summenregel. Für das Ermitteln komplizierterer unbestimmter Integrale stehen weitere Integrationsverfahren wie z.B. die Integration durch lineare und nichtlineare Substitution, das Verfahren der partiellen Integration oder der Integration durch Partialbruchzerlegung zur Verfügung.

Formelsammlungen enthalten überdies oftmals Tafeln mit Integralen schwierig zu berechnender Funktionen. Eine große Hilfe bieten schließlich moderne Rechengeräte mit Computeralgebrasystemen (CAS).

Sind Funktionen nicht elementar integrierbar oder ist das Ermitteln von Stammfunktionen zu aufwendig, werden numerische Integrationsverfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale eingesetzt.
Derartige Methoden bilden auch den Hintergrund für die Integration durch elektronische Rechner (sofern die Integration hierbei nicht über ein Computeralgebrasystem realisiert wird).
Um den Flächeninhalt unter dem Graphen – und damit das bestimmte Integral – einer Funktion f in einem Intervall [a; b] näherungsweise zu bestimmen, wird die Fläche durch Parallelen zur y-Achse in gleichbreite Streifen mit leicht berechenbarem Inhalt zerlegt. Die Summe der Flächeninhalte ergibt dann einen Näherungswert für das bestimmte Integral im Intervall [a; b]. Eine derartige angenäherte zahlenmäßige Berechnung eines bestimmten Integrals heißt numerische Integration.