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Werden einer Urne mit genau N Kugeln (davon M weiße und $N-M$ rote) genau n Kugeln „auf gut Glück“ entnommen und gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der dabei herausgegriffenen weißen Kugeln an, so ist X hypergeometrisch verteilt, wenn die Kugeln ohne Zurücklegen entnommen werden, - im Unterschied zur Entnahme mit Zurücklegen.
Bevorzugtes Anwendungsgebiet der hypergeometrischen Verteilung ist die statistische Qualitätskontrolle.

Der hypergeometrischen Verteilung $H_{N;M;n}$ liegt ein Urnenmodell mit Kugeln von (genau) zwei verschiedenen Farben zugrunde. Verallgemeinert man diese Konstellation auf (genau) r mit $r\in \mathbb{N}\backslash \left\{0;1\right\}$ verschiedene Farben, so hat man es mit verallgemeinert-hypergeometrischen Zufallsgrößen zu tun.

Beim Berechnen der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ist es oft zweckmäßig, sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten mittels einer Vier- oder Mehrfeldertafel zu veranschaulichen.
In diesem Zusammenhang geht es immer um eine Zerlegung der Ergebnismenge $\Omega$ in Ereignisse, von denen bei jeder Realisierung des entsprechenden zufälligen Vorganges stets genau eines eintritt.

Der Grad der Gewissheit über das Eintreten eines zufälligen Ereignisses A wird durch seine Wahrscheinlichkeit $P\left(A\right)$ angegeben.
Liegt jedoch die Information über das Eintreten eines Ereignisses B vor, so kann diese die Bewertung der Eintrittschancen von A verändern, was durch die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B\left(A\right)$ beschrieben wird.

Für zwei beliebige Ereignisse $A,B\left(mitA,B\subseteq \Omega \right)$ gilt:
$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$
Dieser Additionssatz kann auf drei und mehr Ereignisse verallgemeinert werden.
Spezialfälle des Additionssatzes ergeben sich für unvereinbare bzw. unabhängige Ereignisse A und B.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Berechnen von Wahrscheinlichkeiten für k Erfolge bei einer Bernoulli-Kette".

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Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten existieren grundlegende Regeln, die aus dem kolmogorowschen Axiomensystem ableitbar sind.
Diese Beweise dieser Rechenregeln gewähren Einblicke in wichtige stochastische Beweismechanismen. So besteht eine häufig angewandte Beweisidee in der Zerlegung eines Ereignisses in zwei geeignete (unvereinbare) Ereignisse.

Schon sehr früh in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie hat man sich mit dem Problem des zufälligen Werfens bzw. der zufälligen Auswahl eines Punktes auf bzw. aus einem endlichen Flächenstück beschäftigt. Das mutmaßlich älteste Beispiel geht auf ISAAC NEWTON (1643 bis 1727) zurück. Im 18. Jahrhundert wurde dann der Begriff geometrische Wahrscheinlichkeit eingeführt, da es sich um Zufallsexperimente handelt, deren Versuchsausgänge geometrisch quantitativ messbare Größen sind.

Die mathematische Beschreibung des Zufalls orientierte sich bis in das 20. Jahrundert hinein vor allem am Modell der Gleichverteilung.
Für den Aufbau einer umfassenden Wahrscheinlichkeitstheorie erweist sich ein solches Herangehen allerdings als zu eng. Heute wird die Wahrscheinlichkeit axiomatisch definiert. Die axiomatische Definition geht auf den russischen Mathematiker ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW (1903 bis 1987) zurück.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Ermitteln von Wahrscheinlichkeitsverteilungen".

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Mitunter wird man mit dem Problem konfrontiert, die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A zu berechnen, das im Zusammenhang mit n verschiedenen Ereignissen $B_i$ auftritt (in der Praxis können die $B_i$ zum Beispiel verschiedene Fälle oder Ursachen von A sein), wobei sich die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $B_i$ und insbesondere für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass jeweils ein $B_i$ eingetreten ist, mitunter leichter angeben bzw. ermitteln lassen.

Gesucht ist also eine Aussage über eine „unbedingte“ Wahrscheinlichkeit, wenn Informationen über bedingte Wahrscheinlichkeiten vorliegen bzw. primär bestimmbar sind. Bei einer solchen Problemsituation wird man versuchen, den im Folgenden angeführten Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anzuwenden.

Bei der Lösung kombinatorischer Probleme sind zwei Zählprinzipien hilfreich – das für k-Tupel und das für Mengen.

Besteht ein zufälliger Vorgang aus mehreren, nacheinander ablaufenden Teilvorgängen (oder aus Teilvorgängen, die als nacheinander ablaufend interpretiert werden können), so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment (Zufallsversuch).

Eine Zufallsgröße wird vollständig durch ihre Verteilungsfunktion beschrieben. Diese gibt an, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie dies tut.
In der Praxis möchte man allerdings meist mit möglichst wenigen, aber typischen Angaben auskommen, denn oftmals reicht schon eine grobe Vorstellung von der Zufallsgröße aus. Es kommt hinzu, dass die Verteilungsfunktion mitunter gar nicht oder nur schwer bestimmbar ist.

Man sucht deshalb nach Kenngrößen (manchmal spricht man auch von Parametern), die einen hinreichenden Aufschluss und eine quantitative Charakterisierung einer Zufallsgröße ermöglichen. Dies leisten Kenngrößen wie Erwartungswert, Median und Modalwert sowie die Streuung (bzw. Varianz) der Zufallsgröße.
Zur Charakterisierung der Asymmetrie einer Zufallsgröße benutzt man darüber hinaus die Kenngröße Schiefe. Eine Definition dieser Kenngröße geht auf den Vater der mathematischen Statistik KARL PEARSON (1857 bis 1936) zurück.

Für die Definition der Unabhängigkeit von Zufallsgrößen werden die Ansätze und Erkenntnisse genutzt, die im Zusammenhang mit dem Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen gewonnen wurden.
Die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen wird als Unabhängigkeit von Ereignissen interpretiert.

Zufallsziffern können genutzt werden zur Simulation von Zufallsexperimenten (Zufallsversuchen). Mithilfe der Randomfunktion von Computern und Taschenrechnern lassen sich (Pseudo-)Zufallszahlen erzeugen.

Statistische Untersuchungen wie zum Beispiel ein Alternativtest werden für die Qualitätskontrolle eingesetzt.
Bei der Testkonstruktion ist in folgenden Hauptschritten vorzugehen:

1. Man legt fest, was als Nullhypothese und was als Alternativhypothese zu formulieren ist. Dabei ist zu beachten, in welchem Maße Vorsicht angebracht ist bzw. wo (ob) man größere Risiken eingehen darf.
2. Man legt den Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese fest und ermittelt daraus das zugehörige Signifikanzniveau (also den Fehler 1. Art) und den Fehler 2. Art.

Alternativ geht man von einem vorgegebenen Signifikanzniveau aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese sowie den Fehler 2. Art.

Verteilungsannahmen (z.B. Hypothesen zu unbekannten Wahrscheinlichkeiten) über Merkmale einer zu untersuchenden Grundgesamtheit werden mithilfe statistischer Tests, sogenannten Signifikanztests, anhand konkreter Stichproben überprüft. Basis der Überprüfungen ist die Nullhypothese. Der mathematische Aufbau der Signifikanztests erfolgt so, dass genau zwei Prüfergebnisse möglich sind: Die Nullhypothese ist abzulehnen oder die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden.

Für den Fall, dass die Nullhypothese abzulehnen ist, legt im Allgemeinen die Alternativhypothese fest, wie das „Nichtgültigsein“ der Nullhypothese zu deuten ist. Sind in einem Test beide Hypothesen einfache Hypothesen, also durch jeweils genau einen konkreten Wert formuliert, so spricht man von einem besonderen Signifikanztest, dem Alternativtest, anderenfalls (nur) von einem (normalen) Signifikanztest.

Wegen der eindeutigen Festlegung beider Hypothesen lässt sich im ersten Fall für die Signifikanzbeurteilung sowohl der Fehler 1. Art als auch der Fehler 2. Art eindeutig berechnen.
Bei einem (normalen) Signifikanztest kann der Fehler 2. Art nicht eindeutig berechnet werden, da (zumindest) die Alternativhypothese nicht eindeutig (nicht durch genau einen Wert) festgelegt ist.

• Definition: Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest), bei dem zwischen zwei einfachen Hypothesen alternativ (für den einen oder den anderen konkreten Wert) entschieden wird, heißt Alternativtest.

Die (mathematische) Statistik beschäftigt sich mit dem zahlenmäßigen Erfassen, dem Darstellen und dem Untersuchen bzw. Bewerten von Massenerscheinungen in der Natur, der Gesellschaft und der Technik, bei denen Zufallseinflüsse wirken. Dabei werden Methoden und Verfahren der Wahrscheinlichkeitsrechnung angewandt.