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Als Simulation bezeichnet man die Nachbildung (das Nachahmen) eines Zufallsversuchs mithilfe eines geeigneten Zufallsgeräts. Als Zufallsgeräte werden Würfel oder Münzen verwendet, mitunter arbeitet man auch mit (in Tabellen zusammengestellten) Zufallszahlen (Zufallsziffern).

Eine Normalverteilung $N\left(\mu ;{\sigma }^2\right)$ wird vollständig bestimmt durch ihren Erwartungswert $\mu$ und ihre Streuung ${\sigma }^2$. Es liegt deshalb die Frage nahe, ob man eine beliebige Normalverteilung in eine spezielle Normalverteilung transformieren kann – und zwar in eine mit solchen Parametern, die den Termen ihrer Dichte- und Verteilungsfunktion eine möglichst einfache Gestalt geben. Für eine $\left(0;1\right)\text{-normalverteilte}$ Zufallsgröße wäre dies der Fall:
Für die Werte $\mu =0und\sigma =1$ erhält man als Spezialfall die Standardnormalverteilung.

Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion
$\varphi \left(x\right)\text{:}x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}(x\in ℝ)$
und der gaußschen Glockenkurve als Graph ihrer Dichtefunktion.

Die Verteilungsfunktion von X wird mit $\Phi$ bezeichnet und gaußsche Summenfunktion (bzw. auch gaußsche Integralfunktion oder GAUSSsches Fehlerintegral) genannt.
Es gilt:
$P\left(X\le a\right)=\Phi \left(a\right)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{a}{\int }}\varphi \left(x\right)dx}$

* 04. Mai 1821 Okatovo (Russland)
† 26. November 1894 St. Petersburg

PAFNUTI LWOWITSCH TSCHEBYSCHEW war einer der bedeutendsten russischen Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er gilt als Begründer der sogenannten Petersburger mathematischen Schule.
Arbeitsschwerpunkte TSCHEBYSCHEWS waren u.a. wahrscheinlichkeitstheoretische Untersuchungen sowie die Approximation (näherungsweise Darstellung) von Funktionen.

Abschätzungen für Wahrscheinlichkeiten spielen in der Stochastik eine wichtige Rolle, und zwar sowohl bei theoretischen Untersuchungen (Grenzwertsätze) als auch bei praktischen Anwendungen, wenn z.B. nach der noch vertretbaren (hinnehmbaren) Ausschusswahrscheinlichkeit einer Produktionsanlage gefragt wird. Eine der bekanntesten Wahrscheinlichkeitsabschätzungen ist die Ungleichung von TSCHEBYSCHEW.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt das Ziehen aus einer Urne mit verschiedenfarbigen, aber ansonsten gleichen Kugeln eine besondere Rolle. Es wird als ein gedankliches Modell zur Interpretation praktischer Aufgaben (insbesondere sogenannter Standardsituationen) genutzt.

Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der PASCALschen Verteilung, die ihren Namen zu Ehren BLAISE PASCALS (1623 bis 1662) erhielt.

Werden einer Urne mit genau N Kugeln (davon M weiße und $N-M$ rote) genau n Kugeln „auf gut Glück“ entnommen und gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der dabei herausgegriffenen weißen Kugeln an, so ist X hypergeometrisch verteilt, wenn die Kugeln ohne Zurücklegen entnommen werden, - im Unterschied zur Entnahme mit Zurücklegen.
Bevorzugtes Anwendungsgebiet der hypergeometrischen Verteilung ist die statistische Qualitätskontrolle.

Der hypergeometrischen Verteilung $H_{N;M;n}$ liegt ein Urnenmodell mit Kugeln von (genau) zwei verschiedenen Farben zugrunde. Verallgemeinert man diese Konstellation auf (genau) r mit $r\in \mathbb{N}\backslash \left\{0;1\right\}$ verschiedene Farben, so hat man es mit verallgemeinert-hypergeometrischen Zufallsgrößen zu tun.

Beim Berechnen der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ist es oft zweckmäßig, sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten mittels einer Vier- oder Mehrfeldertafel zu veranschaulichen.
In diesem Zusammenhang geht es immer um eine Zerlegung der Ergebnismenge $\Omega$ in Ereignisse, von denen bei jeder Realisierung des entsprechenden zufälligen Vorganges stets genau eines eintritt.

Der Grad der Gewissheit über das Eintreten eines zufälligen Ereignisses A wird durch seine Wahrscheinlichkeit $P\left(A\right)$ angegeben.
Liegt jedoch die Information über das Eintreten eines Ereignisses B vor, so kann diese die Bewertung der Eintrittschancen von A verändern, was durch die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B\left(A\right)$ beschrieben wird.

Für zwei beliebige Ereignisse $A,B\left(mitA,B\subseteq \Omega \right)$ gilt:
$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$
Dieser Additionssatz kann auf drei und mehr Ereignisse verallgemeinert werden.
Spezialfälle des Additionssatzes ergeben sich für unvereinbare bzw. unabhängige Ereignisse A und B.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Berechnen von Wahrscheinlichkeiten für k Erfolge bei einer Bernoulli-Kette".

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Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten existieren grundlegende Regeln, die aus dem kolmogorowschen Axiomensystem ableitbar sind.
Diese Beweise dieser Rechenregeln gewähren Einblicke in wichtige stochastische Beweismechanismen. So besteht eine häufig angewandte Beweisidee in der Zerlegung eines Ereignisses in zwei geeignete (unvereinbare) Ereignisse.

Schon sehr früh in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie hat man sich mit dem Problem des zufälligen Werfens bzw. der zufälligen Auswahl eines Punktes auf bzw. aus einem endlichen Flächenstück beschäftigt. Das mutmaßlich älteste Beispiel geht auf ISAAC NEWTON (1643 bis 1727) zurück. Im 18. Jahrhundert wurde dann der Begriff geometrische Wahrscheinlichkeit eingeführt, da es sich um Zufallsexperimente handelt, deren Versuchsausgänge geometrisch quantitativ messbare Größen sind.

Die mathematische Beschreibung des Zufalls orientierte sich bis in das 20. Jahrundert hinein vor allem am Modell der Gleichverteilung.
Für den Aufbau einer umfassenden Wahrscheinlichkeitstheorie erweist sich ein solches Herangehen allerdings als zu eng. Heute wird die Wahrscheinlichkeit axiomatisch definiert. Die axiomatische Definition geht auf den russischen Mathematiker ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW (1903 bis 1987) zurück.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Ermitteln von Wahrscheinlichkeitsverteilungen".

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Durchfährt ein Rennfahrer beispielsweise die Grand-Prix-Strecke des Eurospeedway Lausitz, so muss er seinen Wagen durch eine Vielzahl von Links- und Rechtskurven mit dazwischenliegenden „Wendestellen“ lenken.

Die Graphen monotoner Funktionen kann man in ähnlicher Weise auf ihr sogenanntes Krümmungsverhalten bzw. auf Wendestellen untersuchen.

In den Natur- bzw. Technikwissenschaften versucht man, bestehende Sachverhalte mithilfe von Funktionen zu modellieren und zu beschreiben. Um die vorliegenden Zusammenhänge besser zu verstehen, ist es oft hilfreich, den Verlauf der entsprechenden Funktionsgraphen genauer zu untersuchen. Sofern keine Funktionsplotter zur Verfügung stehen, ist es notwendig, typische Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion mithilfe geeigneter Methoden der Analysis zu bestimmen und den Funktionsgraphen danach zu zeichnen.

* 25. Januar 1736 Turin
† 10. April 1813 Paris

JOSEPH LOUIS LAGRANGE hatte entscheidenden Anteil an den in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts bzw. zu Beginn des 19. Jahrhunderts erzielten Fortschritten auf den Gebieten der Analysis bzw. der Mechanik (insbesondere der Himmelsmechanik).
LAGRANGE entwickelte u.a. erste allgemeine Methoden der Variationsrechnung und begründete auf analytischem Wege die Bewegungsgleichungen der Mechanik. Sein wohl bedeutendstes Werk ist die „Mécanique analytique“ (Analytische Mechanik).

* 1. Juli 1646 Leipzig
† 14. November 1716 Hannover

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.

Bezüglich der Mathematik sind vor allem seine Arbeiten zur Infinitesimalrechnung sowie zur Logik (Formalisierung der Mathematik) zu nennen. Sein um 1675 entwickelter (aber erst ab 1682 publizierter) „Calculus“ enthält Differenziationszeichen, Regeln zum Differenzieren sowie Aussagen zu Extremwerten und Wendepunkten. Auf LEIBNIZ zurück gehen auch das Integralzeichen sowie die Begriffe Differenzial- und Integralrechnung, Funktion und Koordinaten. Schon vor 1683 entwickelte er eine mechanische Rechenmaschine. LEIBNIZ war Begründer und zugleich erster Präsident der Berliner Akademie der Wissenschaften.

Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen Monotonie und 1. Ableitung untersucht werden.