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Grafisches Lösen von Gleichungen

Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwendig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen.

Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion.

Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

Das Vorgehen beim grafischen Lösen von Gleichungen soll im Folgenden durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

Louis Pasteur

* 27.12.1822 in Dôle (Frankreich)
† 28.09.1895 in Villeneuve (Frankreich)

Der bekannte französische Chemiker, Biologe, Mediziner und Bakteriologe LOUIS PASTEUR wurde am 27. Dezember 1822 in Dôle geboren. Nach seinem Studium an verschiedenen Universitäten in Frankreich (Dijon, Straßburg und Lille), arbeitete er ab 1857 in Paris. PASTEUR hatte sich den Kampf gegen Krankheit und Tod zu seiner Lebensaufgabe gemacht. Er erkannte als erster, dass Mikroorganismen bei Fäulnis und Gärung mitwirken. Daraus leitete er folgende Idee ab: beim Erhitzen von Lebensmitteln müssten nicht hitzebeständige Bakterien abgetötet werden. Dadurch könnte man sie keimfrei machen. Dieses Verfahren wird auch heute noch angewendet, z. B. beim Entkeimen der Milch. Man nennt es nach PASTEUR „Pasteurisieren“. PASTEUR kam durch seine Untersuchungen zu der Überzeugung, dass viele Krankheiten durch Bakterien hervorgerufen werden. Deshalb entwickelte er die Immunisierung mit abgeschwächten Krankheitskeimen wieder, so gegen Hühnercholera, Milzbrand und vor allem gegen die Tollwut.

LOUIS PASTEUR legte mit seinen Forschungen den Grundstein für die Lehre der Mikrobiologie und damit auch die Grundlage für Keimfreiheit (Asepsis und Antisepsis) in der Chirurgie. 1888 errichtete der französische Staat ein Institut für seine Forschungen in Paris, das Pasteur-Institut.

Der große Forscher und Wissenschaftler starb am 28. September 1895 in Villeneuve bei Paris an den Folgen eines Schlaganfalls.

William George Horner

* 1786 Bristol, England
† 22. September 1837 Bath, England

Der einzige Beitrag des englischen Lehrers WILLIAM GEORGE HORNER zur Mathematik besteht in der Entwicklung eines Verfahrens zur vorteilhaften Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen.
Dieses bis Mitte des 20. Jahrhunderts (auch in Schulbüchern) häufig benutzte Verfahren ist im heutigen Computerzeitalter allerdings nahezu gegenstandslos.

Regel von Bernoulli-l'Hospital (erste Regel von l'Hospital)

Mithilfe der l'hospitalschen Regeln lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der Form
$\lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)}$ mit $f (x_{0}) = g (x_{0}) = 0$
berechnen.

Die Regeln sind nach dem französischen Mathematiker GUILLAUME FRANÇOISE ANTOINE DE L'HOSPITAL benannt und gehen auf diesen bzw. den Schweizer JOHANN BERNOULLI zurück.

Guillaume François Antoine Marquis de l'Hospital

* 1661 Paris
† 2. Februar 1704 Paris

GUILLAUME L’HOSPITAL entstammte dem französischen Hochadel und arbeitete sich als Autodidakt in die Mathematik ein. Er war einer der Ersten, der die leibnizsche Infinitesimalrechnung verstand. Sein 1696 veröffentlichtes Werk „Analyse des infiniment petits“ gilt als erstes Buch über Differenzialrechnung.

Zweite Regel von l'Hospital

Mithilfe der l'hospitalschen Regeln lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der Form
$\lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)}$ mit $f (x_{0}) = g (x_{0}) = 0$
berechnen.
Die zweite Regel stellt eine Erweiterung für Grenzwerte mit $x \to \pm \infty$ dar.

Christiaan Huygens

* 14. April 1629 Den Haag
† 8. Juli 1695 Den Haag

CHRISTIAAN HUYGENS war ein äußerst vielseitiger Naturwissenschaftler.
Unter anderem entdeckte er die Doppelbrechung am Kalkspat und erklärte sie mithilfe der Wellennatur des Lichtes.
Auch machte er eine Reihe astronomischer Entdeckungen.
HUYGENS beteiligte sich aktiv an der Lösung mathematischer Probleme seiner Zeit, u.a. schuf er eine erste geschlossene Theorie des Würfelspiels.

Lineare Interpolation

Beim Arbeiten mit Tabellen wie Sinus- oder Logarithmentafeln besteht ein Problem darin, zu Werten, die zwischen den tabellierten liegen, entsprechende Funktionswerte (oder auch umgekehrt zu Funktionswerten, die nicht direkt in den Tabellen vorkommen, die entsprechenden Argumente) zu ermitteln.

Dies leistet das Verfahren der sogenannten linearen Interpolation. Hierbei ersetzt man den Graph einer Funktion zwischen den Stellen $x_{1} u n d x_{2}$ durch eine Gerade und kann so einen Näherungswert für f(x) ablesen.

Intervallschachtelungen

Der (historisch gesehen) zunächst nur naiv gefasste Begriff der reellen Zahl bedurfte einer exakten Fundierung. Dies gelang RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916), der mithilfe eines Schnittes zwischen zwei rationalen Zahlenmengen zu einer exakten Definition der reellen Zahlen gelangte.

Ein etwas anderes Vorgehen ist die Methode der Intervallschachtelungen, die im Folgenden skizziert wird.

Dabei zeigt sich: Durch eine Intervallschachtelung in der Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen wird genau eine reelle Zahl (als Kern) definiert. In der Menge $ℝ$ der reellen Zahlen besitzt jede Intervallschachtelung als Kern eine reelle Zahl, d.h., $ℝ$ ist abgeschlossen.

Die Kettenlinie

Als Kettenlinie bzw. Katenoide (engl. catenary; franz. chainette) wird die Kurve bezeichnet, die durch eine in zwei nicht senkrecht übereinander liegenden Punkten frei aufgehängte Kette gegeben ist. Analytisch ist diese durch die hyperbolische Funktion (Hyperbelfunktion) Cosinus hyperbolicus beschrieben.
Die Drehfläche der Kettenlinie heißt Katenoid (Catenoid).

Kettenregel der Differenzialrechnung

Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der leibnizschen Schreibweise $\frac{d y}{d x}$ anstelle von $f' (x)$ beruhende Notation sehr einprägsam.

Konstantenregel der Differenzialrechnung

Wir vermuten das Folgende: Eine konstante Funktion $f (x) = c (c \in ℝ, a b e r f e s t)$ besitzt für alle $x \in ℝ$ die Ableitung $f^{'} (x) = 0.$

Wissenstest, Elektrische Felder

Elektrische Felder existieren um die Erde, aber auch um jeden anderen elektrische geladenen Körper. Ihre Beschreibung erfolgt mit dem Modell Feldlinienbild und mit der elektrischen Feldstärke. Technisch bedeutsam ist die Ablenkung von geladenen Teilchen in elektrischen Feldern.

Der Test dient der Prüfung von elementaren Kenntnissen zur elektrischen Ladung und zu elektrischen Feldern.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Physik - Elektrische Felder".

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Wissenstest, Elektrische Leitungsvorgänge

Leitungsvorgänge in den verschiedenen Stoffen und im Vakuum werden in der Technik in vielfältiger Weise genutzt. Mit Überlandleitungen wird elektrische Energie übertragen. Ein Haushalt ohne Beleuchtung und die vielfältigen elektrischen Geräte wäre undenkbar. Die gesamte Halbleiterelektronik beruht auf Leitungsvorängen in Halbleitern. Im Test können Sie unter Beweis stellen, dass Sie grundlegende Kenntnisse über die elektrischen Leitungsvorgänge in den verschiedenen Stoffen und im Vakuum besitzen.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Physik - Elektrische Leitungsvorgänge".

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Wissenstest, Elektromagnetische Induktion

Die elektromagnetische Induktion ist die physikalische Grundlage für die gesamte Elektrotechnik. In Generatoren wird mechanische Energie in elektrische Energie umgewandelt. Mithilfe von Transformatoren lassen sich hohe Spannungen oder große Stromstärken erzeugen.

Mit dem Test können Sie prüfen, inwieweit Sie die grundlegenden Zusammenhänge und Gesetze der elektromagnetischen Induktion verstanden haben.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Physik - Elektromagnetische Induktion".

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Wissenstest, Elektromagnetische Schwingungen und Wellen

Zum Spektrum elektromagnetischer Wellen gehören neben dem Wechselstrom u. a. die hertzschen Wellen, das infrarote Licht, das sichtbare Licht, das ultraviolette Licht, Mikrowellen und Röntgenstrahlung. für die Informationsübertragung und die Kommunikationstechnik spielen hertzsche Wellen die entscheidende Rolle. Sie können mithilfe von Schwingkreisen erzeugt werden. mit dem Test können Sie prüfen, wie gut ihre Kenntnisse über elektromagnetische Schwingungen und Wellen sind.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Physik - Elektromagnetische Schwingungen und Wellen".

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Wissenstest, Gleichstromkreis und Wechselstromkreis

Solche Größen wie elektrische Spannung, elektrische Stromstärke und elektrischer Widerstand sind schon aus dem Unterricht der Sekundarstufe 1 bekannt. Das gilt auch für die grundlegenden Gesetze der Reihen- und Parallelschaltung. Mit den gleichen Größen lasssen sich auch Vorgänge im Wechselstromkreis beschreiben, wobei dort neben ohmschen Widerständen auch induktive und kapazitive Widerstände eine Rolle spielen. Schwerpunkt des Tests sind grundlegende Begriffe und Gesetze, die auch für viele Anwendungen von Bedeutung sind.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Physik - Gleichstromkreis und Wechselstromkreis".

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Wissenstest, Magnetische Felder

Dauer- und Elektromagnete werden in vielen Bereichen der Technik genutzt. Im Magnetfeld der Erde können wir uns mithilfe eines Kompasses orientieren. die Beschreibung von magnetischen Feldern kann, wie bei elektrischen Feldern, mit dem Modell Feldlinienbild oder mit Feldgrößen erfolgen.

Im Test können Sie prüfen, wie fundiert Ihre Kenntnisse über magnetische Felder sind.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Physik - Magnetische Felder".

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Ernst Abbe

* 23.01.1840 in Eisenach
† 14.01.1905 in Jena

Er war ein deutscher Physiker, Professor in Jena und Direktor der dortigen Sternwarte. Zusammen mit CARL ZEISS begründete er die Theorie des Mikroskops und schuf weitere theoretische Grundlagen für optische Geräte. ABBE gilt als Begründer der wissenschaftlich-optischen Industrie.

Abbildungsfehler bei Linsen

Bei der Abbildung von Gegenständen durch Linsen weisen die Bilder bisweilen Unschärfen, Farbsäume oder andere Mängel auf. Diese Bildmängel bezeichnet man als Abbildungsfehler oder als Linsenfehler. Die Ursachen für die Abbildungsfehler liegen im Wesentlichen darin, dass die Abbildungsgleichung nur für dünne und sehr flache Linsen sowie für achsennahe Strahlen gilt. Bei Linsen, die in der Praxis verwendet werden, treten Abweichungen von dieser Linsengleichung und damit auch Abbildungsfehler auf. Die wichtigsten Abbildungsfehler sind die sphärische und die chromatische Aberration, die Bildfeldwölbung, der Astigmatismus und die Koma.

Robert Hooke

* 1635 Freshwater
† 1703 London

Er war ein bedeutender englischer Naturforscher, fand das nach ihm benannte Gesetz über die Proportionalität zwischen Dehnung und Belastung bei einer Spiralfeder, entdeckte die Korkzellen, konstruierte ein Teleskop, ein Quecksilberbarometer und einen selbstregistrierenden Regenmesser.

Auflösungsvermögen optischer Geräte

Ein wichtiges Kriterium für die Qualität von optischen Geräten ist ihr Auflösungsvermögen. Es ist ein Maß dafür, ob zwei eng benachbart liegende Gegenstandspunkt mit dem optischen Gerät noch als getrennte Punkte wahrgenommen werden können. Für das Auflösungsvermögen optischer Geräte gibt es physikalische Grenzen. Sie ergeben sich daraus, dass jedes optische Gerät Blenden oder Fassungen hat, an denen Beugung auftritt. Diese Beugung beeinflusst das Bild und bewirkt, dass zwei verschiedene Gegenstandspunkte nur unter bestimmten Bedingungen als getrennte Punkte wahrgenommen werden können.

Das menschliche Auge

Das menschliche Auge ist ein kompliziertes Organ mit einem Linsensystem, das insgesamt wie eine Sammellinse wirkt. Durch dieses Linsensystem entstehen Bilder von Gegenständen auf der Netzhaut, die im Gehirn verarbeitet werden. Das Auge verfügt über Möglichkeiten,

Gegenstände in unterschiedlicher Entfernung scharf zu sehen,
sich Helligkeitsschwankungen anzupassen,
Farben wahrzunehmen.

Dabei können zahlreiche Augenfehler und optische Täuschungen auftreten. Viele Augenfehler können mithilfe von Brillen, Kontaktlinsen oder auch operativ korrigiert werden.

Beugung von Licht

Unter der Beugung von Licht versteht man die Erscheinung, dass sich Licht hinter schmalen Spalten, kleinen Hindernissen und Kanten auch in die Schattenräume hinein ausbreitet. Beugung ist eine wellentypische Erscheinung. Erklärt werden kann die Beugung mithilfe des huygensschen Prinzips.
Ein experimentelles Beispiel für das Auftreten von Beugung bei Licht ist der POISSON-Fleck, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker S. D. POISSON (1781-1840).

Bilder an Sammellinsen

Sammellinsen sind durchsichtige Körper aus Glas oder Kunststoff, die sehr unterschiedliche Form haben können. Wenn Licht auf sie trifft, wird es nach dem Brechungsgesetz gebrochen. Dabei wird bei Sammellinsen auf sie fallendes achsenparalleles Licht hinter der Linse zunächst in einem Punkt, dem Brennpunkt, konzentriert. Für die Bildentstehung ist wesentlich, dass durch eine Linse jedem Gegenstandspunkt eindeutig ein Bildpunkt zugeordnet wird und somit ein scharfes Bild eines Gegenstandes entsteht. Je nach der Lage von Gegenstand und Linse kann dieses Bild unterschiedliche Lage und Größe haben. Es kann reell oder virtuell sein.