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Kreise und Kugeln

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Kreise und Kugeln".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

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Pol und Polare am Kreis

Mithilfe des Kreises ist eine eineindeutige Abbildung (Zuordnung) zwischen der Menge aller Punkte (außer dem Kreismittelpunkt M) und der Menge aller Geraden (außer den Geraden durch M) definiert. Diese wird Polarität am Kreis genannt.

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Das sphärische oder das Kugeldreieck

Die sphärische Geometrie ist die Geometrie auf der Kugel, die sphärische Trigonometrie die Trigonometrie der Kugeloberfläche. Dass beide von der Geometrie und der Trigonometrie der Ebene verschieden sein müssen, erkennt man schon daran, dass es auf der Kugel keine Geraden im Sinne der klassischen ebenen Geometrie und Trigonometrie gibt.
Im Weiteren werden Kugeldreiecke definiert und insbesondere eulersche Dreiecke betrachtet. Zur Berechnung sphärischer Dreiecke werden u.a. der sphärische Sinussatz, der Winkelkosinussatz und der Seitenkosinussatz verwendet.

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Ernährung der Säugetiere

Das Verdauungssystem versorgt durch Umwandlung der Nahrung in aufnehmbare Nährstoffbestandteile den Körper mit organischen Stoffen.
Säugetiere nehmen die unterschiedlichste Nahrung auf. Sie werden entsprechend der Art der aufgenommenen Nahrung in Allesfresser, Fleischfresser und Pflanzenfresser eingeteilt.
Die Nahrung enthält Stoffe, die das Säugetier für Wachstum, Aufrechterhaltung der Körpertemperatur und das Ausführen von Bewegungen braucht, z. B. Nährstoffe wie Kohlenhydrate, Fette und Eiweiße sowie Vitamine, Wasser und Mineralstoffe.

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Kugel und Ebene

Eine Kugel und eine Ebene können keinen Punkt (Fall 1), genau einen Punkt (Fall 2) oder unendlich viele Punkte, die auf einem Kreis (dem Schnittkreis) liegen (Fall 3), gemeinsam haben.

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Kugel und Gerade

Für die Lage einer Kugel bezüglich einer Geraden gibt es die folgenden Möglichkeiten:

  1. Kugel und Gerade haben keinen Punkt gemeinsam (Fall 1);
  2. Kugel und Gerade haben genau einen Punkt gemeinsam (Fall 2);
  3. Kugel und Gerade haben genau zwei Punkte gemeinsam (Fall 3)

Im Fall 1 nennt man die Gerade eine Passante, im Fall 2 eine Tangente und im Fall 3 eine Sekante.

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Kugelgleichungen

Ausgehend vom Begriff der Kugel lassen sich mithilfe eines kartesischen Koordinatensystems Gleichungen (in vektorieller Form und als Koordinatengleichungen) entwickeln. Eine Kugel kann auch durch eine Parametergleichung beschrieben werden.

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Lagebeziehungen zweier Kugeln

Zwei Kugeln im Raum können – abgesehen von dem Fall, dass beide Kugeln identisch sind – verschiedene Positionen zueinander einnehmen.

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Johann Joachim Winckelmann

JOHANN JOACHIM WINCKELMANN (1717–1768), der

„eigentliche Schöpfer der Kunstwissenschaft ...war der erste, der ganz unabhängig und mit wissenschaftlich gebildetem Auge die klassischen Kunstschöpfungen betrachtete und von der Erhabenheit, der Harmonie, dem lebendigen Hauch derselben so durchdrungen war, daß sich dieser antike Geist bei ihm in der körnigen, einfachen Sprache, in den Grundsätzen seiner Lehre und in der Idee vollendeter Schönheit wieder ausgeprägt und gleichsam verkörpert hat“  (Meyers Konversationslexikon).

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Ägypten – Plastiken und Malerei

Die Kunst der Plastik (Skulpturen) unterlag wie die Malerei strengen Proportionsvorgaben. Im Vordergrund stand nicht das reale Aussehen der Person, sondern die soziale, politische und religiöse Stellung. Dadurch ähneln sich sehr viele Skulpturen und wirken oftmals monoton und steif.

Das Material bestand vorwiegend aus Hartgesteinen, wie Granit, Diorit und Quarzit sowie Alabaster und Kalkstein. Seltener wurde Holz verarbeitet, seit Ende des Alten Reiches findet man auch Metallplastiken.

Seit dem 3. Jahrtausend v. Chr. kam es in Ägypten in Verbindung mit den aufwendigen Repräsentationsbauten für die Pharaonen und ihre Staatsbeamten zu einer Weiterentwicklung der Malerei. Für die Verzierung von Wänden und die Bemalung von Reliefs wurden vorwiegend die gelben, roten und braunen Tönen der Erdfarbe verwendet. Die Bilder hatten kultisch-religiöse Funktionen. Der zweite große Themenbereich der ägyptischen Malerei, der in jüngeren Dynastien auch auf Papyri erhalten ist, ist rein religiös bestimmt.

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Sprossachse

Die Sprossachsen sind in Gestalt und Form mannigfaltig. Sie tragen die Laubblätter und Blüten. Die Sprossachse verbindet Blätter und Wurzeln miteinander und sorgt für den Stofftransport zwischen ihnen. Im Inneren zeigen sie im Wesentlichen den gleichen Aufbau:

  • Epidermis als äußeren Abschluss,
  • Rindenschicht,
  • Zentralzylinder mit Leitbündeln.

Die Leitbündel bestehen aus Gefäßteil (Gefäße) und Siebteil (Siebröhren).

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Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge von A und B ( A ∪ B ) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind.

A ∪ B = { x :       x ∈ A ∨ x ∈ B } (gesprochen: A vereinigt B)
Das Zeichen „ ∨ “ steht für das „oder“ mit den drei angegebenen Bedeutungen.

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Computeralgebrasysteme

Beim Einsatz des Computeralgeb rasystems “Mathcad 8” können Zahlen und Variablen beliebig verändert werden. Das CAS liefert sofort die neue Lösung bzw. die neue grafische Darstellung.

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Leon Battista Alberti

* 14.02.1404 Genua
† 25.04.1472 Rom

LEON BATTISTA ALBERTI war ein italienischer Humanist, Künstler und Gelehrter. Er verkörperte, wie JACOB BURCKHARDT (1818–1897) ihn nannte, den „Uomo universale“, den universell gebildeten, allseitigen Menschen. Sein Prinzip lautete:

„Der Mensch ist das Wesen und Maß aller Dinge.“

So probierte er sich nicht nur in den Wissenschaften aus (Theologie, Jura), sondern auch in der Malerei, der Musik und der Literatur. Als Baumeister war er bahnbrechend für die Renaissance; auch als Kunsttheoretiker hat er sich einen Namen gemacht.

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Ägyptische Architektur

Ägyptische Kunst war zumeist religiöse Kunst, die sich mit dem Jenseits befasste. Der Architekt IMHOTEP errichtete für König DJOSER (Herrschaftszeit um 2737 bis 2717 v.Chr.) eine steinerne Stufenpyramide. Sie gilt als das älteste bestehende Beispiel monumentaler Architektur und stellt eine Frühform der Pyramiden dar. Sie wurden errichtet, um die Körper der toten Könige für die Ewigkeit zu konservieren und zu schützen.

Seit König SNOFRU (um 2560 v.Chr.) wurden Pyramiden in ihrer heute bekannten Form errichtet. Ihren Höhepunkt erreichte der Pyramidenbau mit dem Pyramidenkomplex in Giseh, wo die Könige der 4. Dynastie, CHEOPS, CHEPHREN und MYKERINOS, begraben wurden.

Die Tempelstadt von Karnak ist wohl der größte religiöse Komplex der Welt. Hier wurden die Götter Amun und Re verehrt. Gleichzeitig diente die Tempelanlage der Selbstdarstellung der Pharaonen. Über 2000 Jahre lang wurde an diesen Tempelkomplex gebaut.

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Architektur des Barock

Der Barock blieb bis ins 18. Jahrhundert hinein der dominierende Baustil Europas. Es ist kein radikaler Bruch mit der Vergangenheit, sondern hat sich organisch aus der Renaissance entwickelt. Deren architektonische Formen wurden zwar übernommen, aber in einer gänzlich anderen Weise ausgelegt. Der Barock äußert sich im belebenden Kontrast, in der Komplizierung der optischen Eindrücke, neigt zu pathetisch übersteigerten Darstellungen der widerstreitenden Kräfte.

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Gotische Architektur

Gotische Kathedralen scheinen dem Himmel zuzustreben. Somit symbolisieren sie Gottesnähe. Durch neuartige Bauweise gelang es, die Mittelschiffe enorm hoch zu bauen. Sie wurden mit wuchtigen Kreuzrippen überwölbt. Ein aufwendig gestaltetes Strebewerk leitete das Gewicht der Gewölbe in das Erdreich. Die Marienkirche in Lübeck z.B. besitzt mit ihrem 40 m hohen Mittelschiff das höchste gemauerte Backstein-Kirchenschiff der Welt.

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Griechische Architektur

Mit der griechischen Architektur verbindet sich für den heutigen Betrachter meist die Tempelarchitektur. Diese strebte nach Vollkommenheit in Ordnung, Maß, Proportion, Gleichgewicht der einzelnen Elemente und allseitiger Ausstrahlung. Dabei entwickelten die Griechen drei architektonische Systeme, genannt Disziplinen oder Säulenordnungen: die dorischen, ionischen und korinthischen.

Neben dem Tempelbau erlangte vor allem seit etwa 450 v.Chr. der Städtebau eine zunehmende Bedeutung. Hierbei erfuhren öffentliche Gebäude in der griechischen Stadt hinsichtlich der architektonischen Gestaltung eine deutlich höhere Bedeutung als Gebäude privater Nutzung.

Die Säulenarchitektur als charakteristisches Element der öffentlichen Gebäude spiegelte die in der griechischen Gesellschaft der Antike angestrebte Transparenz öffentlicher und staatlicher Aspekte des gesellschaftlichen Lebens wider. Das gymnásion als Bildungsstätte, das Theater sowie das Stadion befanden sich in der griechischen Stadt der Antike meist nicht an zentralen Standorten. Sie lagen eher abgelegen, allerdings noch innerhalb der Stadtmauer.

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Architektur des Jugendstil

Gesellschaftlicher Hintergrund für die Entstehung des Jugendstils ist die enorme Industrialisierung. So verlor das traditionelle Handwerk zunehmend seine Bedeutung aufgrund bedeutend billiger Massenfertigung in der Industrie. Besonders in England, dem Ursprungsland der industriellen Revolution hatte sich schon früh eine Gegenbewegung herausgebildet. Diese englische Bewegung „Arts and Crafts“ (Kunst und Kraft) wird als wichtigster Vorläufer des Jugendstils betrachtet.

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Karolingische Architektur

Karolingische sakrale Baukunst folgte der sogenannten merowingischen Architektur (6.–8. Jh.) und war vor allem von Kirchenbauten in Ravenna und Rom beeinflusst. Besonders deutlich ablesbar ist dies an der Pfalzkapelle in Aachen. Die Kirche von Saint Denis war ein anderes Vorbild für sakrale Architektur zu Zeiten KARLS DES GROSSEN und seiner Nachfolger.

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Architektur des Klassizismus

Den auf Barock und Rokoko folgenden Stil nennt man Klassizismus. Orientiert wurde sich an griechischen und römischen Tempeln nicht nur wegen ihrer Schlichtheit und Würde, ihrer Harmonie und Schönheit, sondern auch deshalb, weil man sie für Hervorbringungen eines vorbildlichen republikanisch regierten politischen Systems hält – wenn auch die meisten Bauten des Klassizismus in königlichem oder fürstlichem Auftrag entstehen.

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Romanische Architektur

Am deutlichsten sichtbar werden die Merkmale der Romanik in der Sakralarchitektur. Romanische Kirchen waren eine Weiterentwicklung der frühchristlichen Basilika.

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Römische Architektur

Noch heute lässt sich die römische Architektur an zahlreichen Überresten römischer Bauten bewundern. Ein klares Bild der Bauweise vermitteln die Aufzeichnungen des römischen Architekten VITRUV („Zehn Bücher über Architektur", lat.: „De architectura libri decem“) aus dem 1. Jh. v.Chr. Daraus geht hervor, dass für die Ausprägung der Architektur politisch-militärische und repräsentative Gründe von Bedeutung waren.

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Sprossmetamorphosen

Sprossmetamorphosen sind Umbildungen der Sprossachse, z. B. unterirdische Erdsprosse (Wurzelstöcke, Rhizome), Kriechsprosse (oberirdische Ausläufer), unterirdische Ausläufer, Sprossranken, oberirdische Sprossknollen, unterirdische Sprossknollen und Sprossdornen. Sie entstanden bei einigen Pflanzen in Anpassung an bestimmte Umweltbedingungen, z. B. bei stammsukkulenten Pflanzen. Sie führen spezielle Funktionen aus.

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Architektur der Steinzeit

Die jungsteinzeitliche Architektur muss im Zusammenhang mit Religion, mit jahreszeitlichen und astronomische Zyklen und dem Ahnenkult betrachtet werden.
Heute noch zeugen die Megalithbauwerke von der großen Geschicklichkeit und Organisation der Steinzeitmenschen. Es mussten tonnenschwere Steine transportiert und bewegt werden. Nur mit der richtigen Technik und dem Zusammenspiel vieler Menschen konnten solche Bauwerke, wie auch die ersten stadtähnlichen Siedlungen, errichtet werden.

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