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Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der leibnizschen Schreibweise $\frac{dy}{dx}$ anstelle von $f\text{'}\left(x\right)$ beruhende Notation sehr einprägsam.

Durchfährt ein Rennfahrer beispielsweise die Grand-Prix-Strecke des Eurospeedway Lausitz, so muss er seinen Wagen durch eine Vielzahl von Links- und Rechtskurven mit dazwischenliegenden „Wendestellen“ lenken.

Die Graphen monotoner Funktionen kann man in ähnlicher Weise auf ihr sogenanntes Krümmungsverhalten bzw. auf Wendestellen untersuchen.

Im Folgenden soll die Quotientenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.$\frac{ }{}$

Die grafische Darstellung von Wertepaaren $(x_i;y_i)$ zweier Größen X und Y führt häufig zu einer Menge von Punkten, die nicht ohne Weiteres einer Funktion bzw. einer Kurve zugeordnet werden können.
Es stellt sich die Frage, ob zwischen den Größen eine Abhängigkeit besteht.
Oftmals ist in solchen Fällen eine Funktion gesucht, deren Graph möglichst nahe an allen Punkten liegt.
Dies führt zur Definition der Korrelation sowie der Regression.

Ist das exakte Ermitteln der Nullstellen einer Funktion nicht möglich oder sehr aufwendig, so können diese mithilfe geeigneter Verfahren näherungsweise bestimmt werden. Ein solches Verfahren, das (zudem) ohne die Mittel der Infinitesimalrechnung auskommt, ist das Sekantennäherungsverfahren, die sogenannte regula falsi (Regel des „falschen“ Wertes).

In der historischen Entwicklung der Differenzialrechnung spielte das sogenannte Tangentenproblem eine große Rolle.

Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome $p\left(x\right)$ und $q\left(x\right)$ ist, heißt gebrochenrationale Funktion. Man unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.
Durch Polynomdivision kann der Funktionsterm einer unecht gebrochenrationalen Funktion in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Term zerlegt werden.

Der Funktionsbegriff lässt sich für Funktionen mit zwei und mehr (unabhängigen) Variablen erweitern.
Elemente der Definitionsmenge sind dann Zahlenpaare, Zahlentripel bzw. n-Tupel.
Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen lassen sich als Flächen im dreidimensionalen Raum darstellen.

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
$y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(\text{mit }a\ne \mathrm{0,}x\in ℝ)$
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man $a{x}^2$ das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung $y=f\left(x\right)$ entstehen so z.B. die Gleichungen $y=f\left(x\right)+c$, $y=f\left(x+d\right)$, $y=a\cdot f\left(x\right)$ oder $y=f\left(b\cdot x\right)$.
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
$y=f\left(x\right)=mx+n\left(m,n\in ℝ\right)$
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich $\left(m,n\ne 0\right)$ gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

Eine Funktion heißt umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Funktion, wenn nicht nur jedem Argument eindeutig ein Funktionswert zugeordnet ist, sondern auch umgekehrt zu jedem Funktionswert genau ein Argument gehört.

Graphen von Funktionen können in bestimmten Intervallen steigen, fallen oder parallel zur x-Achse verlaufen.

Funktionen mit Gleichungen der Form $\text{y}=\text{f}\left(\text{x}\right)={\text{log}}_{\text{a}}\text{x}\left(\text{a}\text{,}\text{x}\in ℝ\text{;}\text{a}\text{,}\text{x}>\text{0;}\text{a}\ne \text{1}\right)$
heißen Logarithmusfunktionen.
Von besonderer Bedeutung sind die Logarithmusfunktionen mit den Basen 10 und 2 sowie der eulerschen Zahl e.

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl $x_0\in D_f$, für die $f\left(x_0\right)=0$ gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung $f\left(x\right)=0$ zu ermitteln.
Diese kann man rechnerisch durch Anwenden der äquivalenten Umformungsregeln, Verwenden von Lösungsformeln u.a. sowie Anwenden von Näherungsverfahren  bestimmen.

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind alle Nullstellen der ganzrationalen Zählerfunktion, die nicht gleichzeitig Nullstellen der Nennerfunktion sind. Damit ist das Bestimmen der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen auf die Nullstellenermittlung ganzrationaler Funktionen zurückgeführt.

Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen gehören zur Klasse der nichtrationalen Funktionen. Zum Bestimmen der Nullstellen jener Funktionen untersucht man, an welchen Stellen $f\left(x\right)=0$ gilt.
Dabei ist der jeweilige Definitionsbereich der Funktion zu beachten.
Die Graphen der „reinen“ Exponentialfunktionen der Form $f\left(x\right)=a^x(\text{mit}a,c,x\in ℝ;a>0;a\ne 1)$ verlaufen stets oberhalb der x-Achse und schneiden die y-Achse im Punkte $\left(0;1\right)$, sie besitzen keine Nullstellen.
Alle „reinen“ Logarithmusfunktionen (als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen zur gleichen Basis) besitzen eine Nullstelle für $x_0=1$.

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form $f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(b\cdot \left(x-c\right)\right)$ beschreiben. Deren Graphen entstehen aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) in Richtung der Koordinatenachsen und Verschiebung in Richtung der x-Achse, woraus sich Schlussfolgerungen für die Nullstellen ziehen lassen.
Für mit anderen Funktionen verkettete Sinus- und Kosinusfunktionen führt das Bestimmen der Nullstellen auf das Lösen goniometrischer Gleichungen.

Unter Potenzfunktionen werden Funktionen mit Gleichungen der folgenden Form verstanden:
$y=f\left(x\right)=x^n\left(x\in ℝ;n\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}\right)$
Ihre Graphen nennt man Parabeln $\left(n>0\right)$ bzw. Hyperbeln $\left(n<0\right)$ n-ter Ordnung.

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für $a\ne 1$ erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von $y=f\left(x\right)=x^2+bx+c$ eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

Die bezüglich eines rechtwinkligen Dreiecks formulierten Definitionen des Sinus und des Kosinus (wie auch des Tangens und des Kotangens) eines Winkels können auf einen beliebigen Kreis oder speziell auch auf einen Einheitskreis (also einen Kreis mit dem Radius $r=1$ Längeneinheit) übertragen werden.

Bei allen zueinander ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken sind die Quotienten aus den Längen von je zwei einander entsprechenden Seiten gleich.

Graphen von Winkelfunktionen kann man auf die bekannte Weise unter Verwendung einer Wertetabelle zeichnen. Es ist allerdings auch möglich, ausgehend von der Definition dieser Funktionen am Einheitskreis die zu einem Winkel als Abszisse eines Graphenpunktes gehörende Ordinate sofort aus der Zeichnung zu entnehmen. Aus der Konstruktion der Funktionsgraphen lassen sich einige wichtige Eigenschaften der entsprechenden Winkelfunktionen schlussfolgern.

Funktionen mit Gleichungen der Form $y=f\left(x\right)=\sqrt[n]{x^m}\left(x\ge 0;m,n\in \mathbb{N};m\ge 1;n\ge 2\right)$
heißen Wurzelfunktionen.