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Zu den typischen kombinatorischen Fragestellungen gehören solche, bei denen Zusammenstellungen von k aus n Elementen betrachtet werden, also eine Auswahl vorgenommen wird.
Werden dabei alle möglichen Reihenfolgen der Elemente betrachtet und unterschieden, so spricht man von Variationen, wird die Reihenfolge nicht berücksichtigt von Kombinationen.
(Der Begriff Kombination wird mitunter auch als Oberbegriff für Variation und Kombination verwendet.)

Die Kombinatorik ist ein Zweig der Mathematik, der die verschiedenen Möglichkeiten der Anordnung von Objekten oder Zahlen untersucht. Sie ist Grundlage vieler Gebiete der Mathematik, insbesondere der beschreibenden Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Zur Charakterisierung von Stichproben, vor allem solchen mit großem Umfang n, werden spezielle Werte (auch Maße genannt) herangezogen. Diese Kenngrößen von Häufigkeitsverteilungen ermöglichen insbesondere den Vergleich statistischer Untersuchungen.
Kenngrößen der Lage beschreiben Häufigkeitsverteilungen durch Angabe „mittlerer Werte“. Dabei ist die Wahl unterschiedlicher Mittelwerte möglich. Am bekanntesten ist das arithmetische Mittel (der Durchschnitt). Als weiteren Mittelwert benutzt man bei statistischen Untersuchungen den Zentralwert.

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827), französischer Mathematiker und Astronom
* 28. März 1749 Beaumont-en-Auge
† 5. März 1827 Paris

PIERRE SIMON DE LAPLACE lieferte bedeutende Beiträge auf den Gebieten der höheren Analysis, der Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie der Himmelsmechanik. So fasste er beispielsweise in seinem 1812 erschienenen Werk „Théorie analytique des probabilités“ das damalige Wissen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen.

DANIEL BERNOULLI, Schweizer Mathematiker, Physiker und Mediziner
* 08.02.1700 Groningen
† 17.03.1782 Basel

Auf mathematischem Gebiet beschäftigte sich DANIEL BERNOULLI vor allem mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Das sogenannte Petersburger Paradoxon konnte erst Anfang des 20. Jahrhunderts gelöst werden. Große Anerkennung erreichte DANIEL BERNOULLI für seine wissenschaftlichen Leistungen auf dem Gebiet der Differenzialrechnung.

JAKOB BERNOULLI, Schweizer Mathematiker
* 27. Dezember 1654 Basel
† 16. August 1705 Basel

JAKOB BERNOULLI gilt als einer der Hauptvertreter der Infinitesimalrechnung und Reihenlehre seiner Zeit. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann entwickelte er den „Leibnizschen Calculus“ weiter.
Mit dem aus seinem Nachlass im Jahre 1713 herausgegebenen Buch „Ars conjectandi“ wurde JAKOB BERNOULLI zum Begründer einer Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Werk wird u. a. die Anwendung der Kombinatorik auf Glücks- und Würfelspiele beschrieben und das Gesetz der großen Zahlen formuliert.

JOHANN BERNOULLI, Schweizer Mathematiker
* 6. August 1667 Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten Leibnizschen Calculus weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte er sich mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

Wird ein Bernoulli-Versuch insgesamt n-mal unabhängig voneinander (hintereinander) durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Mithilfe der bernoullischen Formel kann eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von k Erfolgen gemacht werden. Es ist:
$P\left(\text{genau k Erfolge}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}(k=0;1\mathrm{...}n)$
Hierbei ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit des Bernoulli-Versuches.

FRANCIS GALTON (1822 bis 1911), englischer Naturforscher und Schriftsteller
* 16. Februar 1822 Birmingham
† 17. Januar 1911 Haslemere

GALTON war besonders als Anthropologe tätig, er gilt u. a. als Begründer der Daktyloskopie. Zudem konstruierte er die nach ihm benannte Galton-Pfeife für Töne im oberen Frequenzbereich bzw. im Bereich des Ultraschalls.
Mit seinem Namen verbunden ist das sogenannte Galton-Brett, das zur Demonstration der Binomialverteilung verwendet wird.

Ein wichtiges Moment statistischer Untersuchungen ist die Frage nach der Häufigkeit, mit der ein bestimmter Beobachtungswert in einer Stichprobe (Ergebnismenge) vorkommt. Dabei unterscheidet man zwischen absoluter und relativer Häufigkeit.
Häufigkeitsverteilungen werden meist in Tabellenform angegeben. Sie können mittels Säulen- bzw. Kreisdiagrammen veranschaulicht werden.

Die Mathematik ist vor allem gekennzeichnet durch ihren weitestgehend deduktiven (axiomatischen) Aufbau, durch die Genauigkeit ihrer Begriffe sowie die Strenge ihrer Beweise. Sie steht in enger Wechselbeziehung mit anderen Wissenschaften, insbesondere den Naturwissenschaften.
Im Folgenden werden Informationen zu Teilgebieten und zur Geschichte der Mathematik gegeben.

Grafische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen sind oft symmetrisch und lassen für den Fall, dass die Anzahl der Beobachtungsergebnisse nicht zu gering ist, eine annähernd glockenförmige Gestalt erkennen. Lage und Form der „Glocke“ werden durch den Mittelwert $\overline{x}$ bzw. die Standardabweichung s bestimmt.

CHRISTIAAN HUYGENS (1629 bis 1695), niederländischer Physiker, Astronom und Mathematiker
* 14. Februar 1629 Den Haag
† 8. Juni 1695 Den Haag

CHRISTIAAN HUYGENS war ein äußerst vielseitiger Naturwissenschaftler. Unter anderem entdeckte er die Doppelbrechung am Kalkspat und erklärte sie mithilfe der Wellennatur des Lichtes. Auch machte er eine Reihe astronomischer Entdeckungen.
HUYGENS beteiligte sich aktiv an der Lösung mathematischer Probleme seiner Zeit, u. a. schuf er eine erste geschlossene Theorie des Würfelspiels.

ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW (1903 bis 1987), sowjetischer (russsischer) Mathematiker
* 25. April 1903 Tambow (Russland)
† 20. Oktober 1987 Moskau

ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW zählt zu den bedeutendsten Mathematikern des 20. Jahrhunderts. Er leistete fundamentale Beiträge auf nahezu allen Teilgebieten der Mathematik.
Besonders intensiv arbeitete KOLMOGOROW auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik, speziell die axiomatische Grundlegung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs geht auf ihn zurück.

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Ein Würfel besitzt sechs zueinander kongruente Quadrate als Begrenzungsflächen, die paarweise zueinander parallel liegen. Zur Berechnung des Oberflächeninhalts und des Volumens reicht daher zum Beispiel die Angabe der Länge der Körperkante des Würfels.

Würfel und Quader können im Schrägbild oder Zweitafelbild dargestellt werden.
Um möglichst viele Flächen in wahrer Größe abzubilden, wird der Körper so dargestellt, dass einige Begrenzungsflächen parallel zur Grundriss- bzw. Aufrissebene sind.
Ein Schrägbild lässt sich leicht auf Papier mit Quadratraster zeichnen. Die Tiefenlinien können in Richtung der Diagonalen der Quadrate gezeichnet werden.

Eine der Projektionsarten ist die Zentralprojektion. Man findet sie z. B. in Fotografien und in Landschaftsgemälden. Beim Anfertigen von Zeichnungen in der Malerei und Architektur müssen ihre Eigenschaften beachtet werden, um einen richtigen Eindruck von der räumlichen Tiefe zu vermitteln. Entscheidend ist die Beachtung der Fluchtpunkte der Darstellung.

Mithilfe von Baumdiagrammen lassen sich Vörgänge, die aus mehreren Stufen (Teilvorgängen) bestehen, veranschaulichen. Das betrifft sowohl kombinatorische Probleme als auch mehrstufige Zufallsexperimente (Zufallsversuche).

Zufallsversuche mit genau zwei möglichen Ergebnissen, d. h. Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, bei denen nur zwischen Erfolg (Treffer) und Misserfolg (Niete) unterschieden wird, heißen Bernoulli-Versuche.

Ist p die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg 1 – p.

Mehrstufige Bernoulli-Versuche bezeichnet man als Bernoulli-Ketten.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716), deutscher Mathematiker und Philosoph
* 01. Juli 1646 Leipzig
† 14. November 1716 Hannover

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.
Bezüglich der Mathematik sind vor allem seine Arbeiten zur Infinitesimalrechnung sowie zur Logik zu nennen. Sein um 1675 entwickelte „Calculus“ enthält Differenziationszeichen, Regeln zum Differenzieren sowie Aussagen zu Extremwerten und Wendepunkten von Funktionen. Auf LEIBNIZ gehen auch die Begriffe Funktion, Koordinaten, Differenzial- und Integralrechnung sowie das Integralzeichen selbst zurück. Schon vor 1683 entwickelte er eine mechanische Rechenmaschine.

Beim rechnerischen Lösen kombinatorischer Probleme bzw. beim Berechnen von Wahrscheinlichkeiten werden als Binomialkoeffizienten bezeichnete Terme verwendet. Es sind die Koeffizienten, die beim Entwickeln der n-ten Potenz eines Binoms (a + b) auftreten. Sie können aus dem sogenannten pascalschen Zahlendreieck gewonnen werden. Nachteil dabei ist, dass bei diesem Vorgehen rekursiv verfahren wird, d. h., zur Ermittlung der Koeffizienten von ${\left(a+b\right)}^n$ müssen die von ${\left(a+b\right)}^{n-1}$ bekannt sein.
Hier wird deshalb eine explizite Definition der Binomialkoeffizienten gegeben, einige Rechenregeln werden plausibel gemacht, und der binomische Satz wird allgemein formuliert.

Die Verteilung der Anzahl k der Erfolge in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p wird Binomialverteilung mit den Parametern n und p genannt. Es gilt:

$P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}(k=0;1\mathrm{...}n)$

Tabellen der Binomialverteilung für bestimmte Parameterwerte von n und p sind in vielen Tafelwerken enthalten.
Binomialverteilungen lassen sich mithilfe des sogenannten Galton-Bretts veranschaulichen.

Unter einem Boxplot wird ein Kastenschaubild verstanden, in dem die Häufigkeitsverteilung von Zufallsgrößen dargestellt ist. Dabei werden neben dem Zentralwert $\tilde{x}$ (als dem Bezugswert) folgende weitere Kenngrößen verwendet: unterer und oberer Viertelwert bzw. $x_{3/4}$ sowie die extremen Beobachtungswerte $x_{\min }$ und $x_{\max }$.

Für häufig wiederkehrende Berechnungen enthalten Tabellenkalkulationsprogramme vorbereitete Formeln (sogenannte Funktionen), die an den entsprechenden Stellen nur noch einzufügen und durch spezielle Eingaben zu ergänzen sind.