884 Suchergebnisse

Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der PASCALschen Verteilung, die ihren Namen zu Ehren BLAISE PASCALS (1623 bis 1662) erhielt.

Der sogenannte euklidische Algorithmus ist ein Verfahren zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Zahlen.
Beim euklidischen Algorithmus wird wie folgt verfahren:
Man teilt die größere durch die kleinere Zahl. Geht die Division auf, ist der Divisor der ggT. Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest. Dieser Rest ist der neue Divisor. Der alte Divisor wird zum Dividenden. Nun setzt man das Verfahren fort.
Nach endlich vielen Schritten erhält man den ggT.

Beim Verfahren der schriftlichen Division nutzt man das Distributivgesetz.
Die folgenden Beispiele sollen das Verfahren verdeutlichen.

Die Vereinigungsmenge von A und B ($A\cup B$) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind.

$A\cup B=\left\{x\text{:}x\in A\vee x\in B\right\}$ (gesprochen: A vereinigt B)
Das Zeichen $„\vee “$ steht für das „oder“ mit den drei angegebenen Bedeutungen.

Beim Einsatz des Computeralgeb rasystems “Mathcad 8” können Zahlen und Variablen beliebig verändert werden. Das CAS liefert sofort die neue Lösung bzw. die neue grafische Darstellung.

Die Potenzmenge P(A) von einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A.
Die Potenzmenge einer Menge A enthält immer die leere Menge und die Menge A selbst.

JOHANN BERNOULLI, Schweizer Mathematiker
* 6. August 1667 Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten Leibnizschen Calculus weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte er sich mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

Wird ein Bernoulli-Versuch insgesamt n-mal unabhängig voneinander (hintereinander) durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Mithilfe der bernoullischen Formel kann eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von k Erfolgen gemacht werden. Es ist:
$P\left(\text{genau k Erfolge}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}(k=0;1\mathrm{...}n)$
Hierbei ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit des Bernoulli-Versuches.

Zufallsversuche mit genau zwei möglichen Ergebnissen, d. h. Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, bei denen nur zwischen Erfolg (Treffer) und Misserfolg (Niete) unterschieden wird, heißen Bernoulli-Versuche.

Ist p die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg 1 – p.

Mehrstufige Bernoulli-Versuche bezeichnet man als Bernoulli-Ketten.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716), deutscher Mathematiker und Philosoph
* 01. Juli 1646 Leipzig
† 14. November 1716 Hannover

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.
Bezüglich der Mathematik sind vor allem seine Arbeiten zur Infinitesimalrechnung sowie zur Logik zu nennen. Sein um 1675 entwickelte „Calculus“ enthält Differenziationszeichen, Regeln zum Differenzieren sowie Aussagen zu Extremwerten und Wendepunkten von Funktionen. Auf LEIBNIZ gehen auch die Begriffe Funktion, Koordinaten, Differenzial- und Integralrechnung sowie das Integralzeichen selbst zurück. Schon vor 1683 entwickelte er eine mechanische Rechenmaschine.

Beim rechnerischen Lösen kombinatorischer Probleme bzw. beim Berechnen von Wahrscheinlichkeiten werden als Binomialkoeffizienten bezeichnete Terme verwendet. Es sind die Koeffizienten, die beim Entwickeln der n-ten Potenz eines Binoms (a + b) auftreten. Sie können aus dem sogenannten pascalschen Zahlendreieck gewonnen werden. Nachteil dabei ist, dass bei diesem Vorgehen rekursiv verfahren wird, d. h., zur Ermittlung der Koeffizienten von ${\left(a+b\right)}^n$ müssen die von ${\left(a+b\right)}^{n-1}$ bekannt sein.
Hier wird deshalb eine explizite Definition der Binomialkoeffizienten gegeben, einige Rechenregeln werden plausibel gemacht, und der binomische Satz wird allgemein formuliert.

Die Verteilung der Anzahl k der Erfolge in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p wird Binomialverteilung mit den Parametern n und p genannt. Es gilt:

$P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}(k=0;1\mathrm{...}n)$

Tabellen der Binomialverteilung für bestimmte Parameterwerte von n und p sind in vielen Tafelwerken enthalten.
Binomialverteilungen lassen sich mithilfe des sogenannten Galton-Bretts veranschaulichen.

Unter einem Boxplot wird ein Kastenschaubild verstanden, in dem die Häufigkeitsverteilung von Zufallsgrößen dargestellt ist. Dabei werden neben dem Zentralwert $\tilde{x}$ (als dem Bezugswert) folgende weitere Kenngrößen verwendet: unterer und oberer Viertelwert bzw. $x_{3/4}$ sowie die extremen Beobachtungswerte $x_{\min }$ und $x_{\max }$.

Zur Charakterisierung von Stichproben, vor allem solchen mit großem Umfang n, werden spezielle Werte (auch Maße genannt) herangezogen. Diese Kenngrößen von Häufigkeitsverteilungen ermöglichen insbesondere den Vergleich statistischer Untersuchungen.
Kenngrößen der Lage beschreiben Häufigkeitsverteilungen durch Angabe „mittlerer Werte“. Dabei ist die Wahl unterschiedlicher Mittelwerte möglich. Am bekanntesten ist das arithmetische Mittel (der Durchschnitt). Als weiteren Mittelwert benutzt man bei statistischen Untersuchungen den Zentralwert.

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827), französischer Mathematiker und Astronom
* 28. März 1749 Beaumont-en-Auge
† 5. März 1827 Paris

PIERRE SIMON DE LAPLACE lieferte bedeutende Beiträge auf den Gebieten der höheren Analysis, der Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie der Himmelsmechanik. So fasste er beispielsweise in seinem 1812 erschienenen Werk „Théorie analytique des probabilités“ das damalige Wissen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen.

Unter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zahlen wird meist das arithmetische Mittel (bzw. der Durchschnitt) verstanden. Darüber hinaus sind allerdings mit dem geometrischen und dem harmonischen Mittel noch weitere Mittelbildungen möglich.

Unter einer Permutation versteht man eine Anordnung, bei der alle n Elemente verwendet (d. h. auf n Plätze verteilt) werden. Man unterscheidet Permutationen ohne und mit Wiederholung (der Elemente).

Die Pfadregeln gestatten, (anhand des entsprechenden Baumdiagramms) die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen bzw. Ereignissen bei mehrstufigen Zufallsversuchen zu berechnen.

Bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts sind unter der großen Zahl der auf dem Gebiet der Mathematik tätigen Wissenschaftler nur wenige Namen von Frauen zu finden; zu nennen sind HYPATIA VON ALEXANDRIA (um 400), die Französin GABRIELLE-EMILIE DU CHÂTELET-LOMONT (1706 bis 1746), die Italienerin MARIA GAËTANA AGNESI (1718 bis 1799) sowie die Französin MARIE-SOPHIE GERMAIN (1776 bis 1831). Dieser Zustand ist den damaligen gesellschaftlichen Verhältnissen geschuldet, die von Vorurteilen gegenüber Frauen geprägt waren und diese vom wissenschaftlichen Leben nahezu ausschlossen.
Zu den wenigen, die trotz aller Hindernisse eine wissenschaftliche Laufbahn aufnehmen konnten, zählen später die Russin SOPHIA WASSILJEWNA KOWALEWSKAJA (1850 bis 1891) sowie die deutsche Mathematikerin EMMY NOETHER (1882 bis 1935).

Die Simulation zufälliger Vorgänge aus der Praxis ist oft sehr mühsam und zeitaufwendig. Das gilt besonders auch für das Erzeugen von Zufallszahlen und das Arbeiten mit diesen Zahlen (ggf. unter Verwendung entsprechender Tabellen).
Heute ist es möglich, von Computern erzeugte Zufallszahlen, sogenannte Pseudozufallszahlen, zu nutzen. Grundlage für deren Erzeugung ist ein Algorithmus, der Ziffernfolgen liefert, die annähernd dieselben Eigenschaften haben wie echte Zufallszahlen.

Die Naturwissenschaften beschäftigen sich jeweils mit ausgewählten Teilbereichen der lebenden oder der nicht lebenden Natur. Als wichtigste naturwissenschaftlichen Disziplinen haben sich im Laufe der historischen Entwicklung die Astronomie, die Biologie, die Chemie, die Physik und die physische Geografie herausgebildet.

Ziel jeder Naturwissenschaft ist es,

• Zusammenhänge und Gesetze in der Natur zu erkennen,
• mithilfe der gewonnenen Erkenntnisse Erscheinungen und Vorgänge erklären und voraussagen zu können,
• die gewonnenen Erkenntnisse zu nutzen, um das Leben der Menschen sicherer und angenehmer zu machen.

Die Mathematik ist keine Naturwissenschaft, trotzdem bestehen zwischen ihr und den Naturwissenschaften vielfältige Zusammenhänge.

JOBST BÜRGI (1552 bis 1632), Schweizer Mathematiker und Instrumentenbauer
* 28.02.1552 Lichtensteig
† 31.01.1632 Kassel

JOBST BÜRGI wirkte als Astronom und Mathematiker in Kassel sowie am kaiserlichen Hof in Prag. Er entwickelte eine Reihe astronomischer Geräte und erfand den Proportionalzirkel.

Eine punktweise Abbildung der Ebene auf sich, die Geraden in Geraden überführt, parallele Geraden in parallele Geraden überführt und teilverhältnistreu ist, heißt affine Abbildung oder Affinität.
Beispiele für Affinitäten sind die Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen.

Einer der wichtigsten Grundbegriffe der Mathematik ist der Begriff der Menge. Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung bestimmter real existierender oder gedachter Objekte aus einem vorgegebenen oder ausgewählten Grundbereich zu einem Ganzen. Die einzelnen Objekte werden Elemente der Menge genannt.

Das Zulassen aller denkbaren Zusammenfassungen als Mengen kann zu Widersprüchen führen, auf die BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1970) aufmerksam machte und die deshalb auch russellsche Antinomien genannt werden.

* 384 v.Chr. Stageira (Makedonien)
† 322 v.Chr. Chalkis (auf Euböa)

ARISTOTELES gilt als einer der einflussreichsten Geisteswissenschaftler des alten Griechenlandes.
Er begründete bzw. beeinflusste maßgeblich zahlreiche naturwissenschaftliche Disziplinen sowie die Philosophie.