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Polarkoordinatensystem

Ein Polarkordinatensystem besteht aus einem festen Punkt O und einer von diesem Punkt ausgehenden Halbgeraden (Achse). Ein beliebiger Punkt P der Ebene lässt sich dann eindeutig durch Angabe seiner Polarkoordinaten r und ϕ festlegen.

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Satz des Euklid

Die Satzgruppe des Pythagoras, zu der der Satz des Euklid (Kathetensatz) gehört, zählt wegen ihrer großen Bedeutung für Berechnungen und Beweisführungen zu den berühmtesten der Planimetrie.

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Fläche

Die Fläche einer ebenen Figur umfasst alle Punkte, die sich im Inneren oder auf dem Rand der Figur befinden.
Zwei Figuren sind flächengleich (die Flächen sind gleich groß, die Figuren haben den gleichen Flächeninhalt), wenn sie so in Teilflächen zerlegt werden können, dass jede der Teilflächen in jeder Figur enthalten ist.
Zum Bestimmen des Flächeninhalts einer Figur kann diese mit Einheitsflächen, zum Beispiel mit Quadraten, ausgelegt werden. Die Maßzahl gibt dann die Anzahl der Einheitsquadrate an, die zum Auslegen der Figur benötigt werden.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks kann als Produkt der Seitenlängen berechnet werden.

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Fakultätsschreibweise

Das Symbol n! (gesprochen: n-Fakultät) wird als abkürzende Schreibweise für das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n definiert. Insbesondere Formeln der Kombinatorik lassen sich mithilfe der Fakultätsschreibweise in rationeller Form angeben.

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Prisma

Ein Körper heißt gerades Prisma, wenn er von zwei zueinander kongruenten und parallelen n-Ecken und von n Rechtecken begrenzt wird. Die n-Ecke heißen Grundfläche und Deckfläche des Prismas. Der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe des Prismas.

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Pyramide

Ein Körper heißt Pyramide, wenn er von einem Dreieck, Viereck, Fünfeck usw. als Grundfläche und von Dreiecken als Seitenflächen begrenzt wird, die einen Punkt S gemeinsam haben. Der Punkt S heißt Spitze der Pyramide. Der Abstand der Spitze der Pyramide von der Grundfläche heißt Höhe der Pyramide. Der Fußpunkt der Höhe ist der Fußpunkt des Lotes von der Spitze in die Grundfläche. Die Kanten der Grundfläche nennt man Grundkanten, die Kanten der Seitenfläche heißen Seitenkanten.

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Pyramidenstumpf

Wird eine Pyramide durch eine zur Grundfläche der Pyramide parallele Ebene geschnitten, so entstehen ein Pyramidenstumpf und die zugehörige Ergänzungspyramide.

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Quader

Ein Quader ist ein gerades Prisma mit paarweise zueinander kongruenten Rechtecksflächen. Ein Quader hat sechs Begrenzungsflächen, zwölf Kanten und acht Ecken.

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Würfel, allgemein

Ein Würfel besitzt sechs zueinander kongruente Quadrate als Begrenzungsflächen, die paarweise zueinander parallel liegen. Zur Berechnung des Oberflächeninhalts und des Volumens reicht daher zum Beispiel die Angabe der Länge der Körperkante des Würfels.

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Quadratische Funktionen

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form

  y = f ( x ) = a x 2 + b x + c   ( mit  a ≠ 0,       x ∈ ℝ )

oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man a x 2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

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Säure-Base-Titration

Eine einfache und trotzdem sehr zuverlässige Methode der quantitativen Analyse ist die Titration, die schon sehr lange zur Bestimmung der Konzentration wässriger Lösungen angewendet wird. Das Grundprinzip besteht darin, zu einer Analysenlösung unbekannter Konzentration eine Maßlösung eines Stoffes bekannter Konzentration zu geben. Wenn beide Stoffe vollständig miteinander reagieren, kann aus dem Volumen der Maßlösung die Konzentration der Analysenlösung berechnet werden. Dieses Prinzip kann sowohl bei Säure-Base-Reaktionen als bei auf anderen Reaktionstypen zur quantitativen Analyse genutzt werden.
Säure-Base-Titrationen kommen vielfältig zum Einsatz: für die Überwachung von Umweltprozessen, wie die Analyse der Wasser- und Bodenqualität, aber auch bei der Herstellung von Lebens- und Arzneimitteln.

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Schmelzen und Erstarren

Als Schmelzen bezeichnet man den Übergang vom festen in den flüssigen Aggregatzustand, als Erstarren den umgekehrten Übergang vom flüssigen in den festen Aggregatzustand. Dabei gilt:

  • Schmelztemperatur und Erstarrungstemperatur sind gleich groß. Sie hängen vom jeweiligen Stoff und vom Druck ab.
  • Schmelzwärme und Erstarrungswärme sind für einen bestimmten Stoff ebenfalls gleich groß.
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Sieden und Kondensieren

Als Sieden bezeichnet man den Übergang vom flüssigen in den gasförmigen Aggregatzustand, als Kondensieren den umgekehrten Übergang vom gasförmigen in den flüssigen Aggregatzustand.

Dabei gilt:

  • Siedetemperatur und Kondensationstemperatur sind gleich groß. Sie hängen vom jeweiligen Stoff und vom Druck ab.
  • Verdampfungswärme und Kondensationswärme sind für einen bestimmten Stoff ebenfalls gleich groß.
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Funktionenscharen

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung y = f   ( x ) entstehen so z. B. die Gleichungen y = f   ( x ) + c , y = f   ( x + d ) , y = a ⋅ f   ( x ) oder y = f   ( b ⋅ x ) .
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

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Funktionen, y = mx

Jeder direkt proportionale Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung
  y = ( x ) = m x + n   ( m ≠ 0 )
beschrieben werden.
Definitionsbereich und Wertebereich (Wertevorrat) von f ist die Menge der reellen Zahlen ℝ . Der Graph von f ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft

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Druck

Der Druck gibt an, mit welcher Kraft ein Körper auf eine Fläche von einem Quadratmeter wirkt.

Im Alltag wird der Begriff Druck u.a. im Zusammenhang mit dem Reifendruck, dem Druck in Wasserleitungen oder dem Luftdruck verwendet. Dabei benutzt man den Begriff Druck häufig, um Wirkungen von Kräften zu beschreiben. Die Größen Kraft und Druck müssen aber deutlich voneinander unterschieden werden. Während die Kraft angibt, wie stark ein Körper auf einen anderen einwirkt, beschreibt der Druck die Wirkung einer Kraft auf eine bestimmte Fläche. Allgemein gilt:

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Funktionen, y = mx + n

Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
  y = f ( x ) = m x + n   ( m ,   n ∈ ℝ )
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich ( m ,   n ≠ 0 ) gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

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Maximilian Guldberg

* 11.08.1836 in Christiania
† 14.01.1902 in Christiania (dem heutigen Oslo, Norwegen)

CATO MAXIMILIAN GULDBERG war ein norwegischer Mathematiker. Er entwickelte zusammen mit dem Chemiker PETER WAAGE zwischen 1864 und 1867 auf der Grundlage physikochemischer Untersuchungen von Gasen und Lösungen das Massenwirkungsgesetz. Dieses fundamentale chemische Gesetz blieb lange Zeit unbeachtet, bis es 1877 von OSTWALD bestätigt wurde. Der geniale, sehr zurückgezogen lebende Theoretiker leitete ebenfalls weitgehend unbeachtet bereits 1867 die ideale Gasgleichung ab.

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Massenwirkungsgesetz

Bei reversiblen chemischen Reaktionssystemen stellt sich ein Gleichgewicht zwischen Hin- und Rückreaktion ein. Solche Reaktionen verlaufen nicht vollständig, d. h. die Konzentration der Ausgangsstoffe sinkt nicht auf null. In Abhängigkeit von den Reaktionsbedingungen (Druck, Temperatur) werden konstante Gleichgewichtskonzentrationen der an der Reaktion beteiligten Stoffe erreicht. Mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes können diese in Form der Gleichgewichtskonstanten berechnet werden.

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Neutralisationsreaktionen

Neutralisationsreaktionen sind spezielle Reaktionen zwischen Säuren und Basen, bei denen äquivalente Stoffmengen der Basen und Säuren miteinander reagieren. Bei dieser exothermen Reaktion heben sich die Wirkung der Säure und Base gegenseitig auf und man erhält in der Regel eine neutrale Lösung mit dem pH-Wert von 7. Dieser Fakt wird in der Technik, in der Medizin bzw. auch in der Landwirtschaft häufig bewusst ausgenutzt, spielt aber auch in der oft in der Natur eine Rolle.

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Peter Waage

* 29.06.1833 in Flekkefjord
† 13.01.1900 in Christiania

PETER WAAGE war ein norwegischer Chemiker. Er entwickelte zusammen mit dem Mathematiker CATO MAXIMILIAN GULDBERG zwischen 1864 und 1867 auf der Grundlage physikochemischer Untersuchungen von Gasen und Lösungen das Massenwirkungsgesetz. Dieses fundamentale chemische Gesetz blieb lange Zeit unbeachtet, bis es 1877 von OSTWALD bestätigt wurde.
WAAGE hat nichts mit dem gleichnamigen seit dem Altertum bekannten Messgerät zur Bestimmung der Masse zu tun.

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relative Atommasse

Die relative Atommasse gibt an, wievielmal größer die Masse eines Atoms als die atomare Masseneinheit ist.

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Erhaltung der Masse

Das Gesetz von der Erhaltung der Masse besagt:

Bei allen chemischen Reaktionen bleibt die Gesamtmasse der an der Reaktion beteiligten Stoffe erhalten. Die Gesamtmasse der Ausgangsstoffe ist gleich der Gesamtmasse der Reaktionsprodukte.

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Gasgesetze

Der Zusammenhang zwischen den Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur eines idealen Gases wird durch die Gasgesetze von ROBERT BOYLE und EDME MARIOTTE sowie JOSEPH LOUISE GAY-LUSSAC und AMONTONS beschrieben. Fasst man diese Gesetzmäßigkeiten zusammen, dann erhält man eine Zustandsgleichung des idealen Gases. Diese auch als universelle Gasgleichung bezeichnete Beziehung kann für stöchiometrische Berechnungen genutzt werden, da sich viele reale Gase annähernd wie ideale Gase verhalten.

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Ebenes Koordinatensystem

Koordinatensysteme sind unentbehrliche Hilfsmittel, wenn man geometrische Probleme mit rechnerischen Mitteln lösen will oder umgekehrt die Resultate geometrisch interpretieren möchte, die sich bei der Behandlung bestimmter Probleme mit rechnerischen Methoden ergeben haben.
Am gebräuchlichsten ist das kartesische Koordinatensystem.

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