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Primzahlen

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl .
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Der Beweis dafür ist einfach und wird indirekt geführt:
Man nimmt an, pn  sei die größte Primzahl.
Nun bildet man die Zahl z als Produkt aller bekannten Primzahlen,
z235...pn . Für die Zahl z + 1 gilt nun z + 1  1 mod aller pi , d. h. z + 1 ist durch keine der bekannten Primzahlen teilbar. Damit ist z + 1 entweder eine Primzahl (natürlich größer als pn ) oder sie enthält eine Primzahl als Teiler, die aber auch größer als pn  sein muss, oder wir haben eine neue Primzahl gefunden, die kleiner als pn  ist. Also war die Annahme falsch und es gibt keine größte Primzahl.

In der Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen gibt es aber auch Lücken beliebiger Länge.

Auch dies ist einfach zu beweisen:
Man bildet das Produkt p aller Zahlen von 2 bis n: p234...n 
Damit ist p + 2 teilbar durch 2; p + 3 teilbar durch 3, ... , p + n teilbar durch n.
Die aufeinanderfolgenden Zahlen p + 2, p + 3, p + 4 bis p + n sind damit allesamt keine Primzahlen, man hat also eine Lücke von der Länge n – 1.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl.
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

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Schreibung von Fremdwörtern

Einige Fremdwörter, die schon lange in den deutschen Sprachgebrauch eingegangen sind, dürfen so geschrieben werden, wie man sie spricht. Die bisherige Schreibung kann auch beibehalten werden. Dabei betrifft eine generelle Integrationsmöglichkeit die Morpheme phon, phot, graph, -tial und -tiell.

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Funktionen des Substantivs

Das Substantiv übernimmt eine Funktion im Satz.
Durch den Kasus des Substantivs wird angezeigt, welche Funktion übernommen wird.

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Gedankenstrich

Der Gedankenstrich wird häufig dort verwendet, wo man in der gesprochenen Sprache eine deutliche Pause macht.
Oft könnten auch andere Satzzeichen wie Kommas oder Klammern gesetzt werden.
Man unterscheidet den einfachen Gedankenstrich und den doppelten Gedankenstrich.

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Genus bei zusammengesetzten Substantiven

Zusammengesetzte Substantive bilden sich aus Grund- und Bestimmungswort.
Ausschlaggebend für das Genus ist dabei das Geschlecht des Grundwortes.
Ein zusammengesetztes Substantiv nennt man auch Kompositum (Plural: Komposita).

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Genus des Substantivs

In der deutschen Sprache gibt es für die Substantive drei Geschlechterzuordnungen. Als Kennzeichen des Geschlechts tritt vor das Substantiv der bestimmte Artikel.

  1. weibliches Geschlecht (Femininum) –
    die Frau, die Kanne, die Blume, die Schreibmaschine
  2. männliches Geschlecht (Maskulinum) –
    der Mann, der Hof, der Mond
  3. sächliches Geschlecht (Neutrum) –
    das Kind, das Haus, das Wetter
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Getrennt- und Zusammenschreibung

Die früheren Regelungen der Getrennt- und Zusammenschreibung waren zum großen Teil uneinheitlich und trafen nur in Einzelfällen Festlegungen. Die Folge waren oft unsystematische Schreibungen z. B. von Wortgruppen wie radfahren, aber: Auto fahren.

Die Neuregelungen der Rechtschreibung versuchen, diesen schwierigen Bereich systematisch zu fassen. Sie unterscheiden prinzipiell nach

  1. Wortgruppen (die getrennt zu schreiben sind) und
  2. Zusammensetzungen (die man zusammenschreibt).

Manche Einheiten können sowohl eine Wortgruppe (schwer verständlich) als auch eine Zusammensetzung (schwerverständlich) bilden – je nachdem, was gemeint ist. In der Regel kann man das an der Betonung erkennen: Wenn der Hauptakzent auf dem ersten Bestandteil liegt, wird zusammengeschrieben; werden beide Teile der Wortgruppe betont, dann folgt Getrenntschreibung.

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Grammatik

Der Begriff Grammatik stammt aus dem griechischen „grammatike téchne“ und bedeutete „Lehre von den Buchstaben“ bzw. „Lehre vom (richtigen) Lesen und Schreiben“. In der Sprachwissenschaft ist Grammatik eine Bezeichnung für:

  • eine Teildisziplin, die sich mit den Regelsystemen von Sprachen beschäftigt;
  • die Beschreibung eines solchen Regelsystems, z. B. die Duden-Grammatik;
  • dieses Regelsystem selbst;
  • eine Grammatiktheorie, ein grammatischer Beschreibungsrahmen, z. B. die traditionelle Grammatik oder die generative Grammatik.

Die Ursprünge der Grammatik liegen in der griechischen Antike, im 5. Jh. v.Chr. Die erste erhaltene Grammatik überhaupt entstammt der alexandrinischen Tradition und geht auf DIONYSIOS THRAX (um 100 v.Chr.) zurück.
Die moderne Linguistik begründete der Genfer Sprachwissenschaftler FERDINAND DE SAUSSURE (1857–1913).

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Groß- und Kleinschreibung

Im Gegensatz zu anderen Sprachen ist im heutigen Deutsch die Großschreibung nicht nur auf Namen und Satzanfänge beschränkt. In der deutschen Sprache entwickelte sich die Großschreibung, um Wörter von speziellen Gruppen und den Anfang von Texteinheiten zu kennzeichnen und für den Leser hervorzuheben. So wird die Großschreibung zur Kennzeichnung von

  • Überschriften, Titeln von Werken und dergleichen,
  • Satzanfängen,
  • Substantiven und Substantivierungen,
  • Eigennamen mit nicht substantivischen Bestandteilen,
  • bestimmten festen Verbindungen mit nicht substantivischen Bestandteilen,
  • Anredepronomen und Anreden

verwendet.
Die Entwicklung und die Tradition der deutschen Rechtschreibung haben sich so herausgebildet, dass es notwendig ist, neben den Regeln für die Großschreibung auch Regeln für die Kleinschreibung aufzustellen. Trotzdem ergeben sich gelegentlich Schwierigkeiten, die auch durch Regeln nicht völlig behoben werden können.

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Grundlagen und Voraussetzungen der deutschen Sprache

Das deutsche Schriftsystem basiert in seinem Kern auf der Lautstruktur der deutschen Sprache.
Die Schreibung des Deutschen beruht auf einer Buchstabenschrift.

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Hervorhebungen, Unterbrechungen, und Erklärungen

Einschübe oder Zusätze sowie Anreden und Ausrufe werden durch Komma abgegrenzt. Sie sind im Satz meist Hervorhebungen, Unterbrechungen und Erklärungen. Vor „und“ steht ein Komma, wenn ein Einschub vorausgeht.
Beispiel:
Eines Tages, es war ein Freitag, stand er vor der Tür.
Er ist gut in Deutsch, besonders in der Rechtschreibung.
Im Park traf sie Klaus, es war reiner Zufall, und sie gingen gemeinsam in die Disco.

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Primzahlen, Historisches

Schon die Mathematiker der Antike suchten nach einem Verfahren zum Finden von Primzahlen. Bekannt ist ERATOSTHENES (um 230 v. Chr.) der mit dem nach ihm benannten Sieb eine Methode angab, die Primzahlen der Reihe nach zu ermitteln.
Auch PIERRE DE FERMAT, LEONHARD EULER und MARIN MERSENNE haben viel zur Erforschung der Primzahlen beigetragen.

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Indefinitpronomen

Indefinitpronomen werden dann verwendet, wenn eine nähere Bezeichnung von Personen und Sachen nicht nötig ist oder eine begrenzte Menge nicht genau bestimmt ist. Sie treten im Satz als Stellvertreter des Substantivs oder als sein Begleiter auf. Die Deklination der Indefinitpronomen ist nicht einheitlich und wird auch durch das jeweils herrschende Sprachgefühl geregelt.

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Interjektionen

Interjektionen werden meist im mündlichen Sprachgebrauch verwendet, dienen aber auch in der Textgestaltung dazu, eine Gefühlsäußerung zu verstärken. Stehen sie allein, tragen sie Satzcharakter, werden sie im Satz gebraucht, trennt man sie durch ein Satzzeichen (Komma, Semikolon u. a.) ab. Sie sind in ihrer Form unveränderlich.
Interjektionen lassen sich in zwei Gruppen einteilen:

Ausdrucks- und Empfindungswörter

  • können Gefühlsausdrücke wie Schmerz, Angst, Ekel, Bedauern, Spott, Freude, Erschöpfung u. a. verstärken
  • Beispiele: autsch, aua, brr, pfui, igitt, herrje, nanu, ätsch, puh, juchhu, oje

Klang- und Lautmalereien

  • dienen der anschaulichen, treffenden Kommentierung einer dargestellten Situation
  • Beispiele: hatschi, hihi, miau, wau, bim, hui, rums, ticktack, blub, gong, zack, klingeling

Vor allem in der Kunstgattung des Comics erhalten die Interjektionen eine neue Bedeutung, da sie einen starken Ausdruck in besonders knapper Form wiedergeben können. Häufig werden auch verkürzte Verbformen (schnief!, brüll!, knarr! usw.) als Interjektionen benutzt.

Einige Interjektionen sind besonders typisch für Gespräche; sie betreffen vor allem die Sprecher-Hörer-Beziehung und den Ablauf des Gesprächs. Der Sprecher will z. B. Aufmerksamkeit auf sich lenken, indem er he, hallo, na sagt. Dagegen reagiert der Zuhörer mit hm, ja, okay, aha auf die Äußerungen des Gesprächspartners.

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Kardinalzahl

Die Grundzahlen (Kardinalzahlen) bezeichnen eine Menge oder Anzahl. Sie antworten auf die Fragen „Wie viel?“/„Wie viele?“. Die Zahlen von 0 bis 12, außerdem 100 und 1000, werden mit einem einfachen Wort ausgedrückt; die übrigen Grundzahlen werden durch Zusammensetzung oder Ableitung gebildet.

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Kausaladverbien

Adverbien geben die näheren Umstände eines Geschehens an und sind nicht flektierbar. Es gibt einzelne Arten des Adverbs, welche die Umstände des Geschehens genauer bestimmen.
 

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Klammer

Mit Klammern kann man Zusätze und Nachträge deutlich vom übrigen Text abgrenzen. Außerdem ist es möglich, mit Klammern Ganzsätze oder größere Textteile einzuschließen.
Ausrufe- und Fragezeichen, wenn sie zum Zusatz oder Nachtrag gehören, setzt man vor die abschließende Klammer.
Satzschlusszeichen, die zum übergeordneten Satz gehören, stehen hinter der letzten Klammer und dürfen nicht weggelassen werden.
Eckige Klammern werden meist bei Erläuterungen zu einem bereits eingeklammerten Zusatz verwendet.

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Komma bei Teilsätzen

In einem Satzgefüge werden Hauptsatz und Gliedsatz immer durch Komma voneinander getrennt. Dabei kann der Gliedsatz vorn stehen, er kann hinten stehen oder er kann in der Mitte stehen.

Beispiele:

  • Weil sie Durst hatte, kaufte sie sich eine Cola.
  • Sie geht noch einmal in den Supermarkt, weil sie Zucker vergessen hat.
  • Sie schrieb, weil Max Geburtstag hatte, eine Glückwunschkarte.
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Kommaregeln

Das Komma dient der Gliederung von Sätzen. Es trennt Teilsätze, Wortgruppen und Wörter voneinander ab. In diesen Fällen spricht man vom einfachen Gebrauch des Kommas. Trennt das Komma eingeschobene Sätze oder Satzteile ab, so wird es paarig gebraucht.
Genaue Hinweise zum Gebrauch des Kommas geben „Die amtlichen Regelungen der deutschen Rechtschreibung“.

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Konjunktionen

Konjunktionen verbinden Wörter, Wortgruppen oder Teilsätze und stellen sie in ein bestimmtes Verhältnis zueinander. Sie sind in ihrer Form nicht veränderlich und bilden kein eigenes Satzglied.
Konjunktionen lassen sich nach ihrer Funktion im Satz in verschiedene Gruppen einteilen:

  1. Nebenordnende Konjunktionen
  2. Satzteilkonjunktionen
  3. Infinitivkonjunktionen
  4. Unterordnende Konjunktionen
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Nebenordnende Konjunktionen

Konjunktionen verbinden Wörter, Wortgruppen oder Teilsätze und stellen sie in ein bestimmtes Verhältnis zueinander. Sie sind in ihrer Form nicht veränderlich und bilden kein eigenes Satzglied.
Konjunktionen lassen sich nach ihrer Funktion im Satz in verschiedene Gruppen einteilen.
Nebenordnende Konjunktionen haben die Funktionen,

  • Wörter und Wortgruppen zu verbinden,
     
  • Teilsätze einer Satzverbindung zu verbinden,
     
  • einen Teilsatz mit einem Substantiv als gleichberechtigte Teile zu verbinden.
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Unterordnende Konjunktionen

Konjunktionen verbinden Wörter, Wortgruppen oder Teilsätze und stellen sie in ein bestimmtes Verhältnis zueinander. Sie sind in ihrer Form nicht veränderlich und bilden kein eigenes Satzglied.
Konjunktionen lassen sich nach ihrer Funktion im Satz in verschiedene Gruppen einteilen.
Unterordnende Konjunktionen haben die Funktion:

  • Sie leiten Nebensätze ein.
  • Sie können temporale, modale oder kausale Beziehungen ausdrücken.
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Rationale Zahlen, Begriff und Darstellung

Die Menge der rationalen Zahlen ℚ enthält als Teilmenge die Menge der natürlichen Zahlen ℕ , die Menge der ganzen Zahlen ℤ und die Menge der Bruchzahlen ℚ + (Bild 1).
Die Relationen und Rechengesetze, die in diesen Zahlenbereichen gelten, gelten auch im Bereich der rationalen Zahlen.
Rationale Zahlen werden auf einer Zahlengeraden dargestellt.

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Konsonantenverdoppelung

Folgt kein weiterer Konsonant, so wird ein Konsonant nach einem kurzen betonten Vokal verdoppelt. Bei einigen Wörtern erfolgt keine Verdoppelung der Konsonanten, obwohl ein betonter kurzer Vokal vorausgeht: Himbeere, Walnuss. Das trifft auch für einsilbige Wörter zu, die oft aus dem Englischen übernommen wurden: Bus (aber Busse), Gag, Mob, Klub.

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Hypothek

Für die Finanzierung eines Hauses oder einer Eigentumswohnung werden von den Banken und Bausparkassen langfristige Kredite gegeben. Diese Kredite oder Darlehen können durch eine Hypothek abgesichert werden.

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