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Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome $p\left(x\right)$ und $q\left(x\right)$ ist, heißt gebrochenrationale Funktion. Man unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.
Durch Polynomdivision kann der Funktionsterm einer unecht gebrochenrationalen Funktion in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Term zerlegt werden.

Der Funktionsbegriff lässt sich für Funktionen mit zwei und mehr (unabhängigen) Variablen erweitern.
Elemente der Definitionsmenge sind dann Zahlenpaare, Zahlentripel bzw. n-Tupel.
Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen lassen sich als Flächen im dreidimensionalen Raum darstellen.

Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
$y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(\text{mit }a\ne \mathrm{0,}x\in ℝ)$
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Dabei nennt man $a{x}^2$ das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

In Funktionsgleichungen können Parameter in additiver und multiplikativer Verknüpfung mit Funktionstermen bzw. mit der Funktionsvariablen auftreten. Aus einer Funktionsgleichung $y=f\left(x\right)$ entstehen so z.B. die Gleichungen $y=f\left(x\right)+c$, $y=f\left(x+d\right)$, $y=a\cdot f\left(x\right)$ oder $y=f\left(b\cdot x\right)$.
Diese Parameter haben Einfluss auf Eigenschaften und Verlauf der Graphen der Funktion.

Zusammenhänge aus verschiedensten Praxisbereichen lassen sich mithilfe von Funktionen beschreiben und dadurch bezüglich bestimmter Eigenschaften untersuchen. Neben anderen Eigenschaften kann dabei auch das Grenzverhalten von Funktionen, also die Veränderung ihrer Werte für unbegrenzt wachsende bzw. fallende Argumente bedeutsam sein.

Unter dem Grenzwert einer Zahlenfolge $\left(a_n\right)$ versteht man eine Zahl g mit folgender Eigenschaft:
Für jedes $\epsilon >0$ liegen fast alle Glieder der Zahlenfolge in der
$\epsilon$-Umgebung von g, d.h., von einem bestimmten n an gilt $\left|a_n-g\right|<\epsilon$.
Zahlenfolgen mit dem Grenzwert 0 heißen Nullfolgen

Bei der Untersuchung von Zahlenfolgen auf Konvergenz sind Grenzwertsätze von Nutzen. Mit deren Hilfe lassen sich Folgen komplizierterer Struktur auf einfachere Zahlenfolgen mit bekannten Grenzwerten zurückführen.

Unter den konvergenten Zahlenfolgen spielen die mit dem Grenzwert 0 eine besondere Rolle. Sie heißen Nullfolgen und sind u.a. für das Berechnen von Grenzwerten beliebiger Zahlenfolgen von Bedeutung. Die Betrachtung verschiedener Zahlenfolgen führt zu der Folgerung, dass jede geometrische Folge $\left(a_n\right)=a_1\cdot q^{n-1}mit\left|q\right|<1$ eine Nullfolge ist.

Der Begriff Stetigkeit gehört zu den zentralen Ideen der Differenzial- und Integralrechnung. Wenn man in der Umgangssprache einen bestimmten Vorgang als „stetig“ bezeichnet, so meint man damit, dass er ohne Unterbrechung und ohne sprunghafte Veränderungen abläuft. Eine ganz ähnliche Bedeutung hat der Begriff in der Mathematik.

Existiert an der Stelle $x_0$ des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert
$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle $x_0$ bezeichnet.
Die Ableitung gibt den Anstieg des Funktionsgraphen an der Stelle $x_0$ an.

Höhere Ableitungen einer Funktion f gestatten Rückschlüsse auf den Verlauf des Funktionsgraphen.
Ein Beispiel praktischer Anwendung höherer Ableitungen stellt die Untersuchung von Bewegungsabläufen in der Physik (etwa der Anfahrfunktion eines Kraftfahrzeuges) dar. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind hier als erste bzw. zweite Ableitung des Weges nach der Zeit definiert.

Im Folgenden wird gezeigt, dass die Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x$ im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion $f\text{'}(x)=-\sin x$ besitzt.
Dazu betrachten wir den Graph der Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x\left(x\in ℝ\right)$ im Intervall von 0 bis $2\pi$.

Existiert der Differenzialquotient einer Funktion $y=f(x)$ für alle Punkte eines Intervalls, so ist die Funktion im ganzen Intervall differenzierbar. Jedem x-Wert des Intervalls ist ein Wert des Differenzialquotienten zugeordnet, der also wiederum eine Funktion von x ist. Man nennt diese die abgeleitete Funktion oder Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung):
$f^{\prime }:x\to f^{\prime }(x)$
Anmerkung: f heißt Stammfunktion zu $f^{\prime }$.

Im Folgenden wird gezeigt, dass die Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin x$ im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)=\cos x$ besitzt.
Dazu betrachten wir den Graph der Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin x\left(x\in ℝ\right)$ im Intervall von 0 bis $2\pi$.

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für $x\to \pm \infty$ gilt $\left|f(x)\right|=+\infty$.

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
$\text{f(x)}=\frac{\text{p(x)}}{\text{q(x)}}$.

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der leibnizschen Schreibweise $\frac{dy}{dx}$ anstelle von $f\text{'}\left(x\right)$ beruhende Notation sehr einprägsam.