313 Suchergebnisse

Alle Filter zurücksetzen

Temperatur und Teilchenbewegung

Alle Stoffe bestehen aus Teilchen (Atomen, Molekülen), die sich unterschiedlich schnell bewegen. Die Heftigkeit der Teilchenbewegung hängt vom Aggregatzustand und von der Temperatur ab. Dabei gilt:
Je höher die Temperatur eines Körpers ist, desto heftiger bewegen sich die Teilchen des Stoffes, aus dem der Körper besteht. Die quantitativen Zusammenhänge erhält man durch die Verknüpfung der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie mit der Zustandsgleichung des idealen Gases. Zwischen der Temperatur des idealen Gases und seiner kinetischen Energie bzw. Geschwindigkeit bestehen folgende Zusammenhänge:

${\bar{E}}_{k i n} = \frac{3}{2} k \cdot T oder \frac{1}{2} m \cdot \bar{v^{2}} = \frac{3}{2} k \cdot T$

Volumenänderung von Körpern

Bei einer bestimmten Temperatur nimmt ein fester Körper, eine Flüssigkeit oder ein Gas ein bestimmtes Volumen ein. Ändert sich die Temperatur, so ändert sich in der Regel auch das Volumen, wenn der betreffende Körper die Möglichkeit der Volumenänderung hat. Die Volumenänderung ist dann umso größer,

die größer das Ausgangsvolumen ist und
je größer die Temperaturänderung ist.

Sie ist darüber hinaus davon abhängig, aus welchem Stoff der betreffende Körper besteht.
Besitzt der Körper nicht die Möglichkeit der Volumenänderung, wie das z.B. bei Luft in einem Autoreifen oder Gas in einer Gasflasche der Fall ist, so verändert sich der Druck.

Die Wärme

Die Wärme ist eine relativ komplizierte physikalische Größe, deren Wesen erst im Laufe vieler Jahrzehnte geklärt werden konnte. Heute kann man klar definieren: Die Wärme gibt an, wie viel thermische Energie von einem Körper auf einen anderen Körper übertragen wird.

Formelzeichen:

Q

Einheit:

ein Joule (1 J)

Die Wärme ist wie die mechanische Arbeit eine Prozessgröße, da sie den Prozess der Energieübertragung zwischen Körpern beschreibt.

Wärmeaustausch zwischen Körpern

Kommen zwei Körper unterschiedlicher Temperatur in Kontakt und bleiben sie sich selbst überlassen, so erfolgt zwischen ihnen ein Wärmeaustausch und damit ein Temperaturausgleich. Es gilt das Grundgesetz des Wärmeaustausches, das folgendermaßen lautet:

Wenn zwei Körper unterschiedlicher Temperatur in engen Kontakt miteinander kommen, so gibt der Körper höherer Temperatur Wärme ab, der Körper niedrigerer Temperatur nimmt Wärme auf. Die vom Körper höherer Temperatur abgegebene Wärme ist genauso groß wie die vom Körper niedrigerer Temperatur aufgenommene Wärme.

$Q_{ab} = Q_{zu}$

Diesen Zusammenhang kann man nutzen, um z. B. die Mischungstemperatur zweier Wassermengen zu berechnen.

Wärmeleitung

Die Wärmeleitung ist eine Art der Wärmeübertragung, bei der Wärme durch Körper hindurch von Bereichen höherer Temperatur zu Bereichen niedrigerer Temperatur übertragen wird. Die Wärmeleitfähigkeit von Stoffen ist unterschiedlich. Es gibt gute und schlechte Wärmeleiter.
Die Wärmeleitung kann in einem Stoff erfolgen. Sie kann aber auch von einem Stoff in einen anderen (Wärmeübergang) oder durch einen Stoff hindurch (Wärmedurchgang) vor sich gehen.

Wärmeströmung

Die Wärmeströmung, auch Konvektion genannt, ist eine Form der Wärmeübertragung, bei der Wärme durch strömende Flüssigkeiten
(z. B. Wasser) oder strömende Gase (z. B. Luft) übertragen wird.
Wie viel Wärme durch Wärmeströmung übertragen wird, ist abhängig

von dem Stoff, der die Wärme transportiert,
von der durchströmten Fläche,
von der Temperaturdifferenz,
von der Strömungsgeschwindigkeit,
von der Zeit.

Elektrische Arbeit

Die elektrische Arbeit gibt an, wie viel elektrische Energie in andere Energieformen umgewandelt wird.

Formelzeichen:
Einheit:

W
1

W \cdot s

Elektrische Arbeit muss man verrichten, um einen geladenen Körper in einem elektrischen Feld zu verschieben.

Materialverflechtungen

Materialflüsse innerhalb einer ökonomischen Einheit drücken technologische und ökonomische Beziehungen zwischen den einzelnen Produktionsebenen aus.
Bei der Planung und Bilanzierung derartiger Wechselbeziehungen wird ein mathematisches Modell mit Matrizen und Vektoren gebildet. Dies ermöglicht es, in komprimierter Form die quantitativen Werte zu erfassen und zu bewerten.

Inversion von Matrizen

Um die Inverse einer Matrix zu bestimmen, gibt es zwei prinzipielle Verfahren (Möglichkeiten).
Beim GAUSS-JORDAN-Verfahren wird mithilfe elementarer Matrizenumformungen die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.
Beim Austauschverfahren werden nach einem angegebenen Algorithmus die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht.

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Für die Produktbildung $A \cdot \vec{c}$ (Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor) muss vorausgesetzt werden, dass die Anzahl der Spalten in der Matrix A mit der Anzahl der Koordinaten des Vektors $\vec{c}$ übereinstimmt.
Die Koordinaten des neuen Spaltenvektors, der durch die Multiplikation $A \cdot \vec{c}$ entsteht, erhält man jeweils als Summe der Koordinatenprodukte eines Zeilenvektors von A und des Spaltenvektors $\vec{c}$ .

Exponentieller Zerfall und exponentielles Wachstum

Viele Wachstums- und Zerfallsprozesse in Natur und Technik verlaufen exponentiell. Hierzu gehören u.a. das Wirtschaftswachstum, die Entwicklung von Tierpopulationen bzw. der radioaktive Zerfall. Idealisiert erfolgt eine Beschreibung dieser Prozesse meist durch die Differenzialgleichung $\frac{d N}{d t} = - λ \cdot N .$
Die Betrachtung realer Wachstumsprozesse in der Natur führt zum mathematischen Modell „Gebremstes Wachstum“. Berücksichtigt man, dass viele Prozesse nicht kontinuierlich, sondern quantenhaft verlaufen, lassen sie sich oftmals besser durch Rekursionsgleichungen beschreiben.

Kurven in Polarkoordinatendarstellung

Kegelschnitte können auch in Polarkoordinatendarstellung angegeben werde.
Die Darstellung mithilfe von Polarkoordinaten wird auch benutzt für Spiralen, Schraubenlinien und cassinische Kurven.

Schwerpunkt eines Dreiecks

Der Schwerpunkt S des Dreiecks $P_{1} P_{2} P_{3}$ ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Er teilt diese (vom jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks her gesehen) im Verhältnis $2 : 1.$
Im Folgenden sollen die Koordinaten des Schwerpunktes $S (x_{S}; y_{S}; z_{S})$ eines Dreiecks $P_{1} P_{2} P_{3}$ bestimmt werden.

Laplace-Experimente

Ein Zufallsexperiment (Zufallsversuch) mit einer endlichen Ergebnismenge $Ω = {e_{1}; e_{2}; ...; e_{n}}$ heißt LAPLACE-Experiment, wenn es der LAPLACE-Annahme genügt, d.h. wenn alle seine atomaren Ereignisse gleichwahrscheinlich sind, d.h. wenn diese jeweils mit derselben Wahrscheinlichkeit $P ({e_{1}}) = P ({e_{2}}) = ... = P ({e_{n}})$ eintreten.

Krümmung und Wendepunkt

Durchfährt ein Rennfahrer beispielsweise die Grand-Prix-Strecke des Eurospeedway Lausitz, so muss er seinen Wagen durch eine Vielzahl von Links- und Rechtskurven mit dazwischenliegenden „Wendestellen“ lenken.

Die Graphen monotoner Funktionen kann man in ähnlicher Weise auf ihr sogenanntes Krümmungsverhalten bzw. auf Wendestellen untersuchen.

Korrelation und lineare Regression

Die grafische Darstellung von Wertepaaren $(x_{i}; y_{i})$ zweier Größen X und Y führt häufig zu einer Menge von Punkten, die nicht ohne Weiteres einer Funktion bzw. einer Kurve zugeordnet werden können.
Es stellt sich die Frage, ob zwischen den Größen eine Abhängigkeit besteht.
Oftmals ist in solchen Fällen eine Funktion gesucht, deren Graph möglichst nahe an allen Punkten liegt.
Dies führt zur Definition der Korrelation sowie der Regression.

Computeralgebrasysteme

Beim Einsatz des Computeralgeb rasystems “Mathcad 8” können Zahlen und Variablen beliebig verändert werden. Das CAS liefert sofort die neue Lösung bzw. die neue grafische Darstellung.

Lorentz-Kraft

Auf alle geladenen Teilchen oder Körper, die sich in einem magnetischen Feld nicht parallel zu den magnetischen Feldlinien bewegen, wirkt eine Kraft. Diese Kraft bezeichnet man nach dem niederländischen Physiker HENDRIK LORENTZ (1853-1928), der sie gegen Ende des 19. Jahrhunderts näher untersucht hat, als LORENTZ-Kraft.
Berechnungen zur LORENTZ-Kraft sind mitunter recht kompliziert, weil diese Kraft als vektorielle Größe sowohl von der Bewegungsrichtung und dem Betrag der Teilchengeschwindigkeit als auch von der Stärke und Richtung des Magnetfeldes abhängt. Allgemein gilt:
$\vec{F} = Q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$
Für den Sonderfall, dass Bewegungsrichtung und magnetische Feldlinien senkrecht zueinander stehen, kann man den Betrag der LORENTZ-Kraft relativ einfach experimentell untersuchen und berechnen.

Addition von Geschwindigkeiten

Während sich in der klassischen Physik bei gleich gerichteten Bewegungen die Beträge der Geschwindigkeiten addieren, gilt für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten ein etwa komplizierterer Zusammenhang:
$u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' \cdot v}{c^{2}}}$
Die resultierende Geschwindigkeit ist entsprechend einer Grundaussage der speziellen Relativitätstheorie immer kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

Äquivalenz von Masse und Energie

ALBERT EINSTEIN formulierte in seiner berühmten Arbeit zur speziellen Relativitätstheorie im Jahre 1905: „Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energiegehalt“. Er stellte fest, dass Masse und Energie äquivalente Größen sind und zwischen diesen Größen der fundamentale Zusammenhang $E = m \cdot c^{2}$ existiert. Diese Gleichung ist die Grundlage für das Verständnis der Energiefreisetzung durch Kernspaltung und Kernfusion sowie vieler weiterer physikalischer Prozesse.

Akustischer und optischer DOPPLER-Effekt

Der österreichische Physiker CHRISTIAN DOPPLER (1803-1853) entdeckte 1842, dass zwischen der von einem Beobachter wahrgenommenen Tonfrequenz und der Bewegung einer Schallquelle ein Zusammenhang besteht. Dieser Effekt wird als akustischer DOPPLER-Effekt bezeichnet.
Ein analoger Effekt tritt bei Licht auf. Er wird optischer oder relativistischer DOPPLER-Effekt genannt.

Erhaltungssätze in der speziellen Relativitätstheorie

In der klassischen Physik gilt für abgeschlossene Systeme neben dem Gesetz von der Erhaltung der Masse der Energieerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz.
Aus relativistischer Sicht ergibt sich: Aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie umfasst der Energieerhaltungssatz auch das Gesetz von der Erhaltung der Masse. Auch Impulserhaltungssatz und Energieerhaltungssatz sind miteinander verknüpft.

Längenkontraktion

In der klassischen Physik hat die Länge eines Körpers und damit der Abstand zweier Punkte einen bestimmten, stets gleichen Wert. In der Relativitätstheorie dagegen zeigt sich, dass die Länge eines Körpers vom Bezugssystem abhängig ist. Längenkontraktion bedeutet:
In seinem Ruhesystem hat ein Körper seine größte Länge, die Eigenlänge. In einem dazu bewegten System ist die Länge um den Faktor $1 / k = \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ (Kehrwert des LORENTZ-Faktors) geringer.

LORENTZ-Transformation

Im Zusammenhang mit der Entwicklung seiner Elektronentheorie beschäftigte sich der niederländische Physiker HENDRIK ANTOON LORENTZ auch mit der Elektrodynamik bewegter Körper und mit der Deutung des MICHELSON-MORLEY-Experiments. Er entwickelte 1895 auf der Grundlage der klassischen Vorstellungen Gleichungen, die es ermöglichten, die räumlichen und zeitlichen Koordinaten von einem Inertialsystem in ein anderes umzurechnen. Diese Gleichungen werden als LORENTZ-Transformationsgleichungen oder als LORENTZ-Transformation bezeichnet. Die richtige physikalische Deutung erhielten sie 10 Jahre später durch ALBERT EINSTEIN in seiner speziellen Relativitätstheorie.

Ruheenergie und Gesamtenergie

In der klassischen Physik setzt sich die Energie eines Körpers additiv aus den Energieformen zusammen, die er hat. Masse und Energie sind voneinander unabhängige Größen.
In relativistischer Betrachtungsweise spielt wegen der Äquivalenz von Masse und Energie die Masse des Körpers für die ihm zuzuordnende Energie eine wichtige Rolle. Dabei ist zwischen seiner Ruheenergie und seiner Gesamtenergie zu unterscheiden.