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Beweisverfahren, Allgemeines

Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr angenommene Aussagen (sogenannte Axiome) das Fundament. Der Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den Grundbegriffen weitere Begriffe gebildet werden sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr erkannte Aussagen werden als Sätze in das Gebäude aufgenommen und bei dessen weiterer Vervollkommnung verwendet. Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch einen Beweis.

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Kongruenz von Figuren

Zwei Figuren F   1 und F   2 sind zueinander kongruent (deckungsgleich) genau dann, wenn sie die gleiche Form und Größe haben.
In zueinander kongruenten Figuren sind alle einander entsprechenden Strecken und Winkel gleich groß.
Kongruente Figuren lassen sich durch eine Verschiebung, eine Spiegelung, eine Drehung oder eine Zusammensetzung von ihnen aufeinander abbilden.

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Das Edikt von Potsdam

Das Edikt von Potsdam vom 29.10.1685 gewährte den „Glaubensgenossen französischer Nation“ die Einwanderung in die Lande des Großen Kurfürsten FRIEDRICH WILHELM von Brandenburg.
Der Kurfürst – im Gegensatz zur evangelisch-lutherischen Bevölkerungsmehrheit Brandenburgs selbst calvinistischen Glaubens – bot seinen in Frankreich wegen ihrer Religion verfolgten protestantischen Glaubensgenossen, den Hugenotten, freie und sichere Niederlassung in Brandenburg an. Den Flüchtlingen wurden großzügige Privilegien gewährt, unter anderen Befreiung von Steuern und Zöllen, Subventionen für Wirtschaftsunternehmen und Bezahlung der Pfarrer durch das Fürstentum.

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Carl von Linné

* 23.05.1707 in Rashult / Schweden
† 10.01.1778 in Uppsala

CARL VON LINNÉ verdankt die Botanik ihre Systematik und Nomenklatur. Der schwedische Naturforscher CARL VON LINNÉ wurde am 23. Mai 1707 in Rashult, Smaland, Schweden geboren. Nach seinem Studium der Medizin und der Naturwissenschaft unternahm er zunächst ausgedehnte Forschungsreisen und ließ sich 1738 als Arzt in Stockholm nieder.

1741 wurde LINNÉ zum Professor für Anatomie und Medizin nach Uppsala berufen und lehrte dort seit 1742 auch Botanik. Bei seinen Studenten war er sehr beliebt, er setzte sich für sie und die Wissenschaft ein. Durch seinen Einfluss erreichte er z. B. auch, dass 1747 der naturwissenschaftliche Unterricht an den allgemeinbildenden Schulen Schwedens eingeführt wurde. In Uppsala gründete LINNÉ ein naturhistorisches Museum und legte den Botanischen Garten an.

LINNÉ ist der Begründer der binären oder binomialen Nomenklatur. Er führte nämlich anstelle der früher üblichen langatmigen Aufzählung der besonderen Merkmale einer Pflanze zu deren Beschreibung das Prinzip des zweifachen (lateinischen) Namens ein: des Gattungs- und des Artnamens. Dieses Prinzip wurde auch auf die Tierwelt übertragen (z. B. „Homo sapiens“). Ihm zu Ehren trägt das Moosglöckchen, seiner Nomenklatur folgend, den Namen „Linnaea borealis“.
LINNÉ starb am 10. Januar 1778 in Uppsala.

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Max Reger

* 19.03.1873 Brand
† 11.05.1916 Leipzig

MAX REGER steht mit seinem Werk an der Schnittstelle zwischen Spätromantik und Moderne. Seine Kompositionen vereinen traditionelle musikalische Formen mit einer bis an die Grenzen der Tonalität erweiterten Harmonik und weisen vielfältige stilistische Einflüsse auf. REGER sah sich in der Tradition der „absoluten Musik“ und wandte sich gegen das Konzept der Programmmusik von BERLIOZ oder LISZT.

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Hans Sachs

* 05.11.1494 Nürnberg
† 19.01.1576 Nürnberg

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Erik Satie

* 17.05.1866 Honfleur
† 01.07.1925 Paris

ERIK SATIE gilt als einer der einflussreichsten Außenseiter im Musikleben des frühen 20. Jh. Er wandte sich gegen die romantische Musikästhetik und propagierte eine einfache und klare Kompositionstechnik, die Stilbrüche und einen vom Kabarett beeinflussten Humor einschloss. Gemeinsam mit anderen Künstlern provozierte SATIE das Pariser Kulturleben mit avantgardistischen Ballettmusiken und Klavierwerken. Seine Ablehnung des traditionellen Werkbegriffs war u.a. auch von großem Einfluss auf JOHN CAGE (1912–1992).

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Arnold Schönberg

* 13.09.1874 Wien
† 13.07.1951 Los Angeles

ARNOLD SCHÖNBERG gilt als Begründer der Zweiten Wiener Schule und als einer der Väter der „Neuen Musik“ zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Sein Name steht für die grundlegend von ihm ausgearbeitete Methode der Komposition mit zwölf aufeinanderfolgenden Tönen (Zwölftonmusik). SCHÖNBERG siedelt 1901 nach Berlin über und arbeitet als Dirigent an ERNST VON WOLZOGENs (1855–1934) literarischem Kabarett „Überbrettl“ sowie als Arrangeur von Schlager- und Operettenmusik. 1908 beginnt er in seiner Musik die Grenzen der Tonalität zu überschreiten, 1920 entstehen die ersten Werke nach seiner Methode der Komposition mit zwölf Tönen. Die Machtergreifung durch die Nazis zwingt ihn 1933 zur Emigration in die USA, wo er ab 1936 bis zu seinem Tod einen Lehrstuhl für Komposition an der University of California Los Angeles innehat.

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Franz Schubert

31.01.1797 Lichtenthal bei Wien
† 19.11.1828 Wien

FRANZ SCHUBERT gilt als einer der ersten romantischen Komponisten und als Schöpfer und Vollender des romantischen Liedes. Die klassischen Formtypen werden von ihm übernommen, aber harmonisch differenziert, von der Liedstruktur beeinflusst ins Episodische entspannt und neben freie Fantasieformen gestellt. Zu Lebzeiten gewann er wenig Anerkennung und wurde lediglich von seinem Wiener Freundeskreis unterstützt, mit dem er sich zu „SCHUBERTiaden“, Hausmusikabenden, zusammenfand. Sein reiches Œuvre für Instrumentalmusik, das nicht mehr auf motivisch-thematischer Verarbeitung, sondern auf klangfarblich und harmonisch unterschiedlicher Beleuchtung in sich vollendeter Melodien beruht, steht vor dem Hintergrund seines Liedschaffens, das Volks- und Kunstmusik miteinander versöhnte.

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Robert Schumann

* 08.06.1810 Zwickau
† 29.07.1856 Endenich bei Bonn

ROBERT SCHUMANN verkörpert den romantischen Komponisten par excellence. Von den zeitgenössischen Schriftstellern beeinflusst, bemühte er sich in seinen Kompositionen um einen Ausdruck des „poetischen Ganzen“. Dabei ging von der Klaviermusik aus und erneuerte die klassischen Formen. Mit Leidenschaft schrieb er als Musikkritiker gegen Mittelmaß und Philistertum, pflegte schwärmend den Austausch mit seiner Frau, der Pianistin und Komponistin CLARA SCHUMANN, und den wichtigen Komponisten seiner Zeit. Er starb schließlich in geistiger Umnachtung in einem Sanatorium.

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Aleksandr Nikolajewitsch Skrjabin

* 06.01.1872 Moskau
† 27.04.1915 Moskau

ALEXANDER SKRJABIN war ein russischer Komponist an der Schwelle des 20. Jh. In seinen Werken strebte er die Überwindung der klanglichen Normen seiner Zeit an. Dazu entwickelte er den sogenannten „Mystischen Akkord“ und komponierte polyphone Werke, die stilistisch dem musikalischen Impressionismus nahestehen. Von mystischen Ideen beeinflusst waren auch seine Versuche, verschiedene Sinneseindrücke miteinander zu verbinden, wie etwa Klang und Licht in einem eigens von ihm entwickelten „Farbklavier“. Diese Ansätze führten ihn zu dem Vorhaben, ein alle menschlichen Sinne ansprechendes, bewusstseinserweiterndes Gesamtkunstwerk zu schaffen, dessen Verwirklichung allerdings durch seinen frühen Tod verhindert wurde.

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Karlheinz Stockhausen

* 22.01.1928 Mödrath bei Köln
† 05.12.2007 Kürten-Kettenberg

KARLHEINZ STOCKHAUSEN ist der führende deutsche Komponist seiner Generation. Nach 1950 prägte er entscheidend die Entwicklung der Neuen Musik und gab Anstöße zu neuer ästhetischer und kompositorischer Orientierung. Er ist Vertreter der seriellen und der elektronischen Musik.

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Ergänzungsstoffe

Zu den Ergänzungsstoffen zählen Vitamine, Mineralstoffe, Ballaststoffe und Wasser. Zusätzlich benötigt der Körper besondere Stoffe in relativ geringen Mengen, sogenannte Spurenelemente.

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Dezimalbrüche, Division

Die Division von Dezimalbrüchen lässt sich auf die Division ganzer Zahlen zurückführen.
 

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Igor Strawinsky

* 17.06.1882 Oranienbaum bei St. Petersburg
† 06.04.1971 New York

IGOR FJODOROWITSCH STRAWINSKY (1882–1971) ist einer der wichtigsten Vertreter der „Neuen Musik“ in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Sein Stil reicht von Kompositionen moderner klassischer Musik, über Werke mit „neobarocken“ Tendenzen bis zur Beschäftigung mit der Zwölftonmusik und seriellen Techniken. Er setzte sich mit verschiedensten Elementen der Musik auseinander, wobei seine expressive Rhythmik am markantesten hervortritt. Während seiner späten Phase gelangten Einflüsse des Jazz in seine Arbeit. Auch als Pianist und Dirigent, oft seiner eigenen Werke, erlangte STRAWINSKY Berühmtheit.

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Georg Philipp Telemann

* 14.03.1681 Magdeburg
† 25.06.1767 Hamburg

GEORG PHILIPP TELEMANN war einer der angesehensten Komponisten der Barockzeit, der ein umfangreiches Werk in allen zu seiner Zeit üblichen Gattungen hinterließ. Sein Stil orientierte sich am barocken Kontrapunkt, prägte aber zugleich eine galante vorklassische Schreibart. Neben seiner Kompositionstätigkeit trug TELEMANN auch wesentlich zur Etablierung eines öffentlichen Konzertlebens in deutschen Städten bei und gab mit „Der getreue Musicmeister“ außerdem das erste deutsche Kompositionsjournal heraus.

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Griechisches Tonsystem

Das Tonsystem der Griechen bildet die Grundlage unserer neuzeitlichen Tonordnung. Durch die Entwicklung einer Systematisierung durch ARISTOXENOS (ca. 354–300 v.Chr.) bildeten sich die maßgeblichen Einheiten Oktave und Tetrachord heraus. In engem Zusammenhang mit der Musizierpraxis und dem Instrumentarium der Antike entstanden die Bezeichnungen von Tonnamen. Die strukturierte Darstellung von Tönen diente auch als Grundlage der griechischen Notation.

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Pjotr Iljitsch Tschaikowsky

* 07.05.1840 Wotkinsk
† 06.11.1893 Petersburg,

PJOTR (PETER) ILJITSCH TSCHAIKOWSKY gilt als der große Sinfoniker Russlands. Seine an der westlichen Kunstmusik orientierte Musiksprache verschmilzt klassische Formen mit Elementen russischer Volksmusik. Trotz freundschaftlicher Beziehung zu der nationalrussischen Gruppe um RIMSKI-KORSAKOW (1844–1908) war TSCHAIKOWSKYs Ästhetik deren Grundideen entgegengesetzt.

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Edgard Varèse

* 22.12.1883 Paris
† 06.11.1965 New York

EDGARD VARÈSE gilt als Vater der elektronischen Musik. Er setzte Tonbandaufzeichnungen in seinen Werken ein, experimentierte mit synthetischen Klängen und war stets auf der Suche nach technologisch und klanglich neuartigen Klangerzeugern, die sich als Musikinstrumente nutzen ließen. Sein Konzept einer architektonisch geschichteten Musik sucht die normierte Zwölftonskala aufzubrechen, indem die Differenzierung von Tönen oder Akkorden zugunsten einer ausdifferenzierten Klangwelt zurücktritt. Die unterschiedlichen musikalischen Schichten werden durch ungewöhnliche Instrumentation und komplex arrangierte Rhythmen voneinander abgegrenzt. Uraufführungen seiner Werke führten aufgrund dieser entstandenen neuen Klangästhetik oftmals zu Skandalen und schockhaften Reaktionen unter dem zeitgenössischen Publikum. Nicht zuletzt durch eine lange Schaffenspause und den Verlust einiger Partituren ist das Opus VARÈSEs überschaubar geblieben.

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Giuseppe Verdi

* 10.10.1813 Le Rocole
† 27.01.1901 Mailand

GIUSEPPE VERDI ist einer der berühmtesten italienischen Opernkomponisten. Mit seinem Werk erreichte die italienische Oper im 19. Jahrhundert ihre vollendete Fassung. VERDI schuf in seinen Charakteropern einen neuen dramatischen Stil, der sich vom Ideal des reinen Belcanto-Gesangs verabschiedete. Für die Libretti seiner Werke griff er auf die europäische Literaturgeschichte zurück und trug Wesentliches zur Gattung der Literaturoper bei. Er war außerdem stark an den politischen Prozessen in Italien beteiligt.

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Frankoflämische Vokalpolyphonie

Die Musik des 15. und 16. Jh. wird analog zu den Strömungen in den bildenden Künsten der Epoche der Renaissance zugeordnet. Da der Großteil der Komponisten und Musiker in den nordfranzösischen und niederländischen Sprachgebieten beheimatet war, spricht man auch von „frankoflämischer Musik“. Die frankoflämischen Komponisten beeinflussten über staatliche und sprachliche Grenzen hinweg die Musikentwicklung in ganz Europa und gelten als stil- und normprägend für die mehrstimmige Musik der Renaissance.

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Komponisten der Vorklassik

Der Begriff „Vorklassik“ bezeichnet die Gesamtheit verschiedener Musikstile zwischen 1730 und 1770/1780, mit denen die stilistischen und gattungsgeschichtlichen Voraussetzungen für die Wiener Klassik geschaffen wurden. Insbesondere die

  • Sinfonie,
  • die Sonate und
  • die Klaviermusik

erhielten hier wesentliche Impulse.

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Richard Wagner

* 22.05.1813 Leipzig
† 13.02.1883 Venedig

RICHARD WAGNER war der bedeutendste deutsche Opernkomponist im 19. Jahrhundert. Er entwickelte das Konzept der Gattung Musikdrama und setzte es in seinen Werken um.

Zentral ist dabei der Begriff des Gesamtkunstwerkes: Alle an der Oper beteiligten Künste wie Musik, Malerei und Schauspiel sollten zu einem synthetischen Ganzen zusammenkommen. Charakteristisch für seinen Stil war außerdem die Verwendung von Leitmotiven sowie die tragende Rolle des Orchesters. WAGNER verabschiedete sich von der traditionellen Nummernoper und schuf durchkomponierte Werke, deren Handlung meist der Mythologie entnommen war. In Bayreuth gründete der Komponist ein Festspielhaus, das exklusiv zur Aufführung seiner Opern dienen sollte und dies bis heute tut.

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Walther von der Vogelweide

* um 1170 wahrscheinl. Österreich
† um 1230 Würzburg

WALTHER VON DER VOGELWEIDE war ein mittelhochdeutscher Dichter zur Zeit der staufischen Klassik. Als typischer Vertreter der höfischen Dichtung verfasste er vor allem Minnelieder und Sangspruchstrophen. Er gilt als der erfolgreichste Spruchdichter des Mittelalters und - neben WOLFRAM VON ESCHENBACH - als der berühmteste mittelalterliche Lieddichter und Minnesänger.

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Erkältungskrankheiten, Atemwegserkrankungen

Bei einer Erkältungskrankheit handelt es sich um eine akute Infektion der oberen Atemwege. Da diese durch Viren verursacht wird, spricht man auch von einem viralen Infekt.

Menschen mit geschwächtem Immunsystem sind besonders anfällig für eine Erkältungskrankheit. Kälteeinwirkungen, Stress o.Ä. können auch Erkältungskrankheiten auslösen.

Typische Symptome einer Erkältungskrankheit sind Schnupfen, Husten und Heiserkeit.

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