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Regeln für das Berechnen bestimmter Integrale

Für das Berechnen bestimmter Integrale von im Intervall [a; b] stetigen Funktionen f und g können folgende Regeln Anwendung finden:

  • Regel zur Übereinstimmung bzw. Vertauschung von Integrationsgrenzen;
  • Regel der Intervalladditivität;
  • Faktorregel;
  • Summenregel
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Berechnung der Bogenlänge

Die Berechnung der Bogenlänge ist für die Bearbeitung innermathematischer und vieler technischer (insbesondere bautechnischer) Probleme bedeutsam.
Als Beispiele seien die Berechnung der Länge eines Parabelbogens, der Kettenlinie, einer Schleife oder eines Brückenbogens genannt.

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Bonaventura Cavalieri

* 1598 Mailand
† 30. November 1647 Bologna

BONAVENTURA FRANCESCO CAVALIERI lehrte in Bologna und arbeitete vor allem auf dem Gebiet der Geometrie. Seine Berechnungen zu Flächeninhalten und Volumina, insbesondere das Prinzip der Indivisiblen, bereiteten die Entwicklung von Methoden der Infinitesimalrechnung vor.

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Die elektrische Spannung

Neben vielen anderen Anwendungen ist die Mathematik in der Physik für die Definition physikalischer Größen bedeutsam. Im Folgenden wird die Arbeit im radialsymmetrischen elektrischen Feld berechnet, woraus dann weitere Größen gewonnen werden.

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Plattwürmer

Plattwürmer sind blatt- oder bandförmige, wirbellose Tiere, deren Körper abgeplattet ist. Sie leben sowohl im Süßwasser (z. B. Planarie) als auch als Innenparasiten in Tieren (z. B. Leberegel im Rind) und im Menschen (z. B. Bandwürmer). Plattwürmer sind weltweit verbreitete Wirbellose. Die Gruppe umfasst weltweit ca. 20 000 Arten. Zu den Plattwürmern gehören

  • die Strudelwürmer (Planarien, z. B. Süßwasserplanarie),
  • die Saugwürmer (z. B. Großer Leberegel) und
  • die Bandwürmer (z. B. Schweinefinnenbandwurm).
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Flächenberechnung durch Integralrechnung

Aus der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals resultiert die Flächenberechnung als grundlegende Anwendung der Integralrechnung.
Dabei erfordern Unterschiede in Form und Lage der jeweiligen Flächen im Koordinatensystem spezifische Vorgehensweisen.
Man hat zu unterscheiden zwischen Flächen unter Funktionsgraphen, die im betrachteten Intervall

  • ausschließlich oberhalb der x-Achse,
  • ausschließlich unterhalb der x-Achse oder
  • oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen, sowie
  • Flächen, die zwischen zwei Funktionsgraphen liegen.
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Flächeninhaltsberechnungen

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Paul Guldin

* 12. Juni 1577 Mels (St. Gallen)
† 3. November 1643 Graz

PAUL GULDIN war Professor für Mathematik, u.a. in Wien und Graz. In einem seiner Werke gibt er Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Rotationskörpern an. Diese sogenannten guldinschen Regeln sollen allerdings schon dem griechischen Mathematiker PAPPOS von Alexandria bekannt gewesen sein.

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Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung wird nach den Begründern der Infinitesimalrechnung häufig auch als Formel nach NEWTON-LEIBNIZ bezeichnet.
Er stellt den Zusammenhang zwischen der Differenzial- und Integralrechnung her und verbindet zwei Sachverhalte miteinander, denen völlig unterschiedliche Probleme zugrunde liegen.

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Zu den Anfängen der Integralrechnung

Während die Differenzialrechnung in der Untersuchung des Tangentenproblems wurzelt, war die Beschäftigung mit Inhaltsproblemen Ausgangspunkt für die Entstehung der Integralrechnung.

Dabei erregte das Inhaltsproblem sehr viel früher das Interesse als die Frage danach, ob für einen beliebigen Funktionsgraphen in einem vorgegebenen Punkt die Tangente an den Graphen existiert und wie man ihre Steigung ermitteln kann.

Bereits vor der Phase der griechisch-hellenistischen Mathematik waren einfache Methoden zur Berechnung der Flächeninhalte einzelner Vielecke und der Volumina einfacher Körper bekannt – gekleidet in die Form von „Rezepten“.

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Integration durch Partialbruchzerlegung

Lässt sich bei der Integration gebrochenrationaler Funktionen der Funktionsterm nicht durch eine einfache Division in eine Summe umwandeln, so kann die Integration durch Partialbruchzerlegung angewendet werden.

Ist der Integrand eine unecht gebrochenrationale Funktion, so wird diese zunächst durch Partialdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt.

Den echt gebrochenrationalen Anteil schreibt man dann mittels Partialbruchzerlegung als eine Summe einfacher Teilbrüche.

Der Lösungsansatz für die Partialbruchzerlegung ist hierbei davon abhängig, ob die Funktion im Nenner einfache oder mehrfache, reelle oder komplexe Nullstellen hat.

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Integration durch lineare Substitution

Während beim Differenzieren elementarer Funktionen wieder elementare Funktionen entstehen, gibt es zahlreiche elementare Funktionen, deren unbestimmte Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen.
Scheinbar geringfügige Veränderungen im Funktionsterm erfordern u.U. völlig andere Lösungswege oder führen zu nicht mehr elementar integrierbaren Funktionen.

Als Beispiele seien die Funktionen f ( x ) = x   ⋅   sin   x         u n d         g ( x ) = x sin   x genannt:
Während die Funktion f mit der Methode der partiellen Integration elementar integrierbar ist, kann man das Integral der Funktion g nicht mit elementaren Mitteln berechnen. Ähnlich verhalten sich die Funktionen f ( x ) = x   ⋅   e x         u n d         g ( x ) = e x x .

Bei der Integration von Produkten von Funktionen oder von verketteten Funktionen findet häufig die Substitutionsmethode Anwendung.

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Integration durch nichtlineare Substitution

Ist im Integranden eines Integrals eine verkettete Funktion und außerdem noch die Ableitungsfunktion der inneren Funktion als Faktor vorhanden, so kann die Integration durch nichtlineare Substitution erfolgen.

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Systematische Klassifizierung der Musikinstrumente

Man kann die heute gebräuchlichen Musikinstrumente nach unterschiedlichen Kriterien in Kategorien einteilen:

  1. nach ihrem Einsatz in der Musikpraxis, z.B. in Orchesterinstrumente, Instrumente der Rockband, Volksmusikinstrumente etc.,
     
  2. nach ihrer Spielweise, z.B. in Tasteninstrumente, Blasinstrumente, Zupfinstrumente, Streich- oder Schlaginstrumente,
     
  3. nach der physikalischen Grundlage ihrer Tonerzeugung:
    – Aerophone („Luftklinger“),
    – Chordophone („Saitenklinger“),
    – Membranophone („Fellklinger“),
    – Idiophone („Selbstklinger“),
    – Elektrophone („Elektroklinger“).
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Übersicht über die Musiknotation

Zur schriftlichen Festlegung von Tönen nutzt man sogenannte Noten.
Die Tonhöhe wird ohne Rücksicht auf Halbtonschritte durch die fortlaufende Anordnung der Noten auf Linien und Zwischenräumen, die relative Dauer der Einzeltöne durch die Notengestalt, die rhythmische Gruppierung und die Akzentlage durch Taktvorzeichen und Taktstriche (Takt) wiedergegeben. Die (absolute) Tonhöhenbedeutung der Linien wird am Anfang durch einen Schlüssel bestimmt.

Tempo, Tonstärke, Verzierungen, Artikulation usw. werden durch schriftliche Zusätze oder besondere Zeichen ausgedrückt. Zur Aufzeichnung der chromatischen Halbtöne fis, cis, b, es usw. werden Versetzungszeichen beigefügt; Versetzungszeichen am Anfang des Liniensystems (Vorzeichen) bezeichnen die Tonart. Die zeitlichen Notenwerte sind Ganze, Halbe, Viertel, Achtel, Sechzehntel usw.; außerhalb dieser steten Zweiteilung stehen punktierte Noten (eineinhalbfacher Wert), Triolen, Quintolen usw. Jedem Notenwert entspricht ein Pausenzeichen gleicher Dauer.

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Musiktheorie

Die Musiktheorie ist ein Teilgebiet der Musikwissenschaft. Sie beschreibt in Abhängigkeit von der geschichtlichen Entwicklung die jeweiligen Regeln der musikalischen Komposition. Sie gliedert sich in mehrerer Teilbereiche, die im 18. Jahrhundert entstanden. Dem heutigen Verständnis von Musiktheorie ging ein lange währender Bedeutungswandel voraus.

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Geschichte der Notenschrift

Bereits in der Antike gab es Versuche, klingende Musik schriftlich zu fixieren. Die Geschichte der Notenschrift ist seither einem ständigen Wandel unterworfen. Aus den Erfordernissen der jeweiligen Zeit, bestimmter Gattungen und innovativer musikalischer Vorstellungen entstanden immer wieder neue Formen der Notation. Diese Entwicklungen fanden schließlich in der grafischen Notation des 20. Jahrhunderts ihren vorläufigen Höhepunkt. Diese Art der Notenschrift macht aber auch deutlich, dass eine Notation ein musikalisches Werk wahrscheinlich nie in all seinen Parametern voll erfassen kann.

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Bau und Funktion des Ohres

Das Ohr besteht aus Außenohr (Ohrmuschel, Gehörgang), Mittelohr (Trommelfell, Gehörknöchelchen) und Innenohr (Schnecke als Hörsinnesorgan, Vorhof und Bogengänge als Gleichgewichtsorgan). Mittel- und Innenohr liegen geschützt im knöchernen Schädel.

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Orchester

Als Orchester bezeichnet man ein meist großes Instrumental-Ensemble aus mehreren Instrumentengruppen. Hierbei gibt es allerdings, was die Besetzung und die Aufgaben eines Orchesters betrifft, erhebliche Unterschiede.

Entwickelt hat sich das Orchester und auch der Orchesterbegriff über viele Jahrhunderte hinweg, wobei viele Veränderungen auf dem Gebiet der Besetzung eng verbunden sind mit der Entwicklung bzw. Erfindung einzelner Instrumente.
Im Laufe der Zeit wurde für das klassische Orchester eine Sitzordnung geprägt, die allerdings aus verschiedenen Gründen variiert werden kann.

Damit der Dirigenten eines Orchesters einen Überblick über das gesamte zu spielende Notenmaterial jedes Instrumentes bekommt, nutzt er als Vorlage eine sogenannte Partitur.

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Orgel

Die Orgel wird wegen ihres prächtigen Äußeren und ihres gewaltigen Klanges oft als „Königin der Instrumente“ bezeichnet. Keine Orgel ist wie die andere; jede ist optimal an die Akustik des Raumes angepasst, in dem sie erklingt. Die prächtigen Instrumente in Kirchen und Konzertsälen sind Meisterwerke der Feinmechanik und des Instrumentenbaus. Von der Antike bis heute spiegelt der Orgelbau technische Entwicklungen, aber auch stilistische Umbrüche wider, so dass heute an vielen erhaltenen oder restaurierten Orgeln die Stilvielfalt von 500 Jahren Kirchenmusik zu erkennen und klanglich zu erleben ist. Bei kaum einem anderen Musikinstrument spielt die ungebrochene Tradition des Instrumentenbaus eine so wichtige Rolle wie bei der Orgel.

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Musik und Raumakustik

Überall da, wo nicht nur das Aussehen eines Raumes eine Rolle spielt, sondern auch der Klang im Raum, kommt ein Teilbereich der Akustik zum Tragen – die Raumakustik.

Vor allem im Laufe der letzten 80 Jahre hat man zahlreiche Erfahrungen im Umgang mit Bauformen und Materialien in Bezug auf klangverändernde Eigenschaften gesammelt. Gleichzeitig wurden Methoden entwickelt, um die Raumakustik entsprechend den Bedürfnissen anzupassen.

Ein zentraler Begriff innerhalb der Raumakustik ist der Nachhall, der zusammen mit den zugehörigen Erstreflexionen und dem Direktschall den Gesamtklang eines Raumes ergibt. Aus verschiedenen Gründen greift man heute nicht selten auch auf künstlichen Nachhall zurück. Die Anwendungsbereiche hierzu sind vielfältig.

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Rhythmus

Rhythmus ist die zeitliche Gestaltung und Ordnung von Musik.
In diesem umfassenden Sinne definiert, umfasst Rhythmus mindestens drei grundlegende musikalische Elemente, die jeweils ein spezielles Zeitverhältnis repräsentieren:

  • den Rhythmus im engeren Sinne, die Folge und Beziehungen der relativen Tondauern untereinander, das Verhältnis „kurz – lang“,
     
  • das Metrum, die Folge und Beziehungen der Betonungen beziehungsweise Gewichte der einzelnen Taktzeiten, das Verhältnis „betont/schwer – unbetont/leicht“,
     
  • das Tempo, das die absolute Tondauer festlegende Zeitmaß, das Verhältnis „schnell – langsam“.
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Blutbestandteile

Das Blut besteht aus einem flüssigen Bestandteil, dem Blutplasma, und festen Bestandteilen.

Zu den festen Bestandteilen, den Blutzellen, gehören die roten Blutzellen (rote Blutkörperchen oder Erythrozyten), die weißen Blutzellen (weiße Blutkörperchen oder Leukozyten) und die Blutplättchen (Thrombozyten).

Das Blut ist ein vielseitiges Transportmittel. Die roten Blutzellen transportieren den Sauerstoff von der Lunge in den Körper. Im Blutplasma werden z. B. Nährstoffbausteine vom Darm in den Körper und Kohlenstoffdioxid aus dem Körper zur Lunge gebracht.

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Rhythmusbeispiele

Im Folgenden werden Rhythmen wesentlicher Standardtänze und Musikrichtungen zum Üben und Nachmachen am Drumset durch HAMDI TAWFIK vorgestellt.

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Rhythmusbeispiele Drumsolo

Hier werden Drumsoli zum Üben vorgestellt.

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