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Prozentangaben lassen sich grafisch durch Kreisdiagramme, Streifendiagramme, Säulendiagramme oder Liniendiagramme veranschaulichen. Welche Art der Darstellung günstig ist, hängt vom Sachverhalt ab.
Kreisdiagramme und Streifendiagramme eignen sich zur Darstellung von Größenverhältnissen und Anteilen.
Wenn z. B. zeitliche Abläufe und Entwicklungstendenzen darzustellen sind, ist ein Liniendiagramm (für mehrere Sachverhalte) oder ein Säulendiagramm (für einen Sachverhalt) sinnvoll.

Ungleichungen, die Bruchterme enthalten, werden Bruchungleichungen genannt.
Ein Beispiel für eine Bruchungleichung ist: $\frac{\text{x}+\text{2}}{\text{x}-\text{5}}>\text{0}$
Um alle Lösungen dieser Bruchungleichung zu finden, müssen zwei Fälle unterschieden werden, denn es gibt zwei Möglichkeiten, damit ein Bruch größer als null ist:

1. Der Zähler und der Nenner sind größer als null.
2. Der Zähler und der Nenner sind kleiner als null.

Beide Fälle müssen untersucht werden, um alle Lösungen der Bruchungleichung zu finden.

GERONIMO CARDANO (1501 bis 1576), italienischer Mathematiker, Philosoph und Arzt
* 24. September 1501 Pavia
† 21. September 1576 Rom

GERONIMO CARDANO arbeitete auf dem Gebiet der Algebra und beschäftigte sich insbesondere mit dem Lösen kubischer Gleichungen. Die nach ihm benannte Lösungsformel (die cardanische Formel) stammt allerdings vom venezianischen Rechenmeister NICCOLÒ TARTAGLIA.
Von CARDANO stammen auch physikalische Erfindungen wie das Kardangelenk, die Kardanwelle bzw. die kardanische Aufhängung.

DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA (um 250), griechischer (hellenistischer) Mathematiker

DIOPHANT behandelte lineare und quadratische Gleichungen. Bei ihm finden sich erste Ansätze algebraischer Bezeichnungsweisen und Verfahren. Nach ihm benannt sind die sogenannten diophantischen Gleichungen.

Die Lösungsformel für die Normalform der quadratischen Gleichung ${\text{x}}^{\text{2}}+\text{p}\text{x}+\text{q}=\text{0}$ lautet:
${\text{x}}_{\text{1;}\text{2}}=-\frac{\text{p}}{\text{2}}\pm \sqrt{{\left(\frac{\text{p}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}-\text{q}}$
Der Radikand ${\left(\frac{\text{p}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}-\text{q}$ heißt Diskriminante und wird mit D abgekürzt.
Vom Wert des Radikanden in der Lösungsformel hängt es ab, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat.

Wenn eine der beiden linearen Gleichungen in die andere Gleichung des linearen Gleichungssystems „eingesetzt“ wird, um die Lösung des Gleichungssystems zu bestimmen, so nennt man dieses Verfahren Einsetzungsverfahren.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird mit dem Einsetzungsverfahren in folgenden Schritten gelöst:

1. Es wird – falls nötig – eine der beiden linearen Gleichungen nach einer der beiden Variablen umgeformt.
2. Die umgeformte Gleichung wird für die Variable in die andere Gleichung eingesetzt.
3. Die so entstandene lineare Gleichung mit nur einer Variablen wird gelöst.
4. Die erhaltene Lösung wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Eine Reihe von inner- und außermathematischen Anwendungsaufgaben führt aus das Lösen von Exponentialgleichungen.
Als Beispiele werden Aufgaben zum atmosphärischen Luftdruck und zum Entalden eines Kondensators bzw. zur Zinseszinsrechnung angegeben.

Exponentialgleichungen nennt man solche Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten auftritt.
Exponentialgleichungen, in der nur Potenzen mit gleicher Basis auftreten oder unterschiedliche Basen auf die gleiche Basis zurückgeführt werden können, sind mithilfe der Anwendung der Potenzgesetze oder durch Logarithmieren lösbar.

Die kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades hat die allgemeine Form
$A{x}^3+B{x}^2+Cx+D=0\left(A\ne 0\right)$.
Nach Division durch A hat sie die Form
$x^3+a{x}^2+bx+c=0$.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine kubische Gleichung genau drei Lösungen. Eine Lösungsformel, die sogenannte cardanische Formel, wurde in der Renaissance gefunden und im Jahre 1545 veröffentlicht.

ADAM RIES (1492 bis 1559), Rechenmeister in Erfurt und Annaberg
* 1492 Staffelstein (Franken)
† 30. März 1559 Erfurt

ADAM RIES ist vor allem bekannt als Rechenmeister und Verfasser mehrerer hervorragender Rechenbücher in deutscher Sprache.

EVARISTE GALOIS (1811 bis 1832), französischer Mathematiker
* 18. Oktober 1811 Bourg-la-Reine bei Paris
† 31. Mai 1832 Paris

EVARISTE GALOIS gelang eine Klärung der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Wurzelgrößen (Radikale). Er benutzte dazu die Gruppentheorie.

In allen Ländern der Europäischen Union (EU) wird auf Waren und Dienstleistungen vom Endverbraucher eine Steuer erhoben, die sogenannte Umsatzsteuer.
Verkauft ein Betrieb in Deutschland eine Ware oder Dienstleistung, ist er verpflichtet, auf den Endpreis diese Umsatzsteuer aufzuschlagen und an das Finanzamt abzuführen. Dabei darf er die von ihm gezahlte Umsatzsteuer auf alle Waren und Dienstleistungen, die er für seine Produktion benötigt, als sogenannte Vorsteuer in Abzug bringen. Somit zahlt er Umsatzsteuer nur auf den Teil des Preises, der aus der Wertschöpfung in seinem Betrieb resultiert. Man spricht daher auch von Mehrwertsteuer.

Nominalzins ist der Zinssatz in Prozent auf den Betrag der Geldanlage/des Kredits für genau ein Jahr (p. a. für per annum pro Jahr).
Der Effektivzins ist der Zinssatz unter Berücksichtigung der gesamten Laufzeit sowie aller weiteren Kosten.
Er gibt den Ertrag der Anlage bzw. die gesamten Kosten des Kredites an. Für den Vergleich verschiedener Angebote ist er der entscheidende Zinssatz.

Während bei der Prozentrechnung die Werte auf die Vergleichszahl 100 bezogen werden, ist es bei der Promillerechnung die Vergleichszahl 1000. Den Promillesatz bezeichnet man mit p ‰.

Prozentangaben werden verwendet, um Anteile anzugeben bzw. zu vergleichen, indem man die Vergleichszahl 100 benutzt.
Prozentangaben sind nur in Verbindung mit einer Bezugsgröße sinnvoll.
Die verwendete Bezugsgröße wird auch Grundwert (Gesamtwert) genannt und mit G abgekürzt. Sie entspricht immer einem Prozentsatz von 100 %.
Der Prozentsatz wird kurz p % genannt. Die Zahl p vor dem Prozentzeichen wird als Prozentzahl (Prozentpunkt) bezeichnet.
Der Wert, der dem Prozentsatz entspricht, wird Prozentwert genannt und mit W abgekürzt.

Proportionalzirkel und Proportionalwinkel waren vielseitig einsetzbare Rechengeräte des 17. und 18. Jahrhunderts. Ihre Entwicklung geht maßgeblich auf GALILEO GALILEI und JOBST BÜRGI zurück.
Im Folgenden werden die mathematischen Grundlagen und einfache Rechenbeispiele dargestellt.

Die Grundgleichung der Prozentrechnung beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Prozentwert W, dem Prozentsatz p und dem Grundwert G:

$p\%=\frac{W}{G}\text{bzw}\text{. }\frac{p}{100}=\frac{W}{G}$

Bei einigen Prozentsätzen kann man bei gegebenen Grundwerten die zugehörigen Prozentwerte sehr leicht (bequem) im Kopf angeben, weil man mit einfachen Brüchen rechnen kann.
Zu den bequemen Prozentsätzen gehören u. a.:
1%, 5%, 10%, 20%, 25%, 33 $\frac{1}{3}$%, 50%, 66 $\frac{2}{3}$%, 75%, 100%, 150%, 200%

Prozentsätze können mit der Formel $p\%=\frac{W}{G}bzw.p=\frac{W}{G}\cdot 100$berechnet werden (p%: Prozentsatz; G: Grundwert;
W: Prozentwert).

Ist eine Zahl v sowohl Vielfaches einer Zahl a als auch Vielfaches einer Zahl b, so heißt v gemeinsames Vielfaches von a und b.

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird mit kgV bezeichnet.

Der Begriff „kleinstes gemeinsames Vielfaches“ kann auch auf mehr als zwei Zahlen erweitert werden.

Man erhält das kgV aus den Primfaktorzerlegungen der Zahlen, indem man alle vorkommenden Primfaktoren in ihrer höchsten Potenz multipliziert.

Die Basiseinheit für das Volumen (den Rauminhalt) ist der Kubikmeter ($m^3$).
Für größere oder kleinere Volumen (Rauminhalte) verwendet man Einheiten, die durch Vervielfachen mit Potenzen von 1000 = ${10}^3$ aus dem Kubikmeter abgeleitet sind, wie z. B. Kubikdezimeter
($d{m}^3$), Kubikzentimeter ($c{m}^3$) oder Kubikmillimeter ($m{m}^3$) .

JOHANN BALTHASAR NEUMANN (1687 bis 1753), deutscher Architekt und Baumeister
* 30.01.1687 Eger
† 19.08.1753 Würzburg

JOHANN BALTHASAR NEUMANN, deutscher Architekt und Baumeister des 18. Jahrhunderts, ist vor allem durch seine prächtigen Rokokobauten bekannt geworden. Für seine Berechnungen entwickelte NEUMANN einen speziellen Proportionalwinkel, das „instrumentum architecturae“. Mit ihm konnten die Proportionen der verschiedenen Säulenarten bequem abgelesen werden.

Will man Währungen anderer Länder, die nicht zur Europäischen Währungsunion gehören, umrechnen, so muss man den jeweiligen Umrechnungskurs kennen.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Rechnen mit Zahlen".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

$a=\sqrt[n]{c}$ (gesprochen: a ist gleich n-te Wurzel aus c)
Dabei heißen n der Wurzelexponent, c der Radikand und a der Wurzelwert.
Im Bereich der reellen Zahlen existiert die n-te Wurzel aus c stets, wenn c eine nichtnegative reelle Zahl und n eine natürliche Zahl $\left(n>1\right)$ ist.
Wurzeln aus negativen Zahlen existieren im Bereich der reellen Zahlen nicht.