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Das Computerprogramm Derive zählt zu den leistungsstarken und – in der Version Derive 5 – bedienungsfreundlichen Computeralgebrasystemen (CAS). Die Bedienung erfolgt über die Tastatur und über eine menügesteuerte Benutzeroberfläche. Anders als ein wissenschaftlicher Taschenrechner kann Derive auch Terme mit Variablen umformen sowie Gleichungen bzw. Gleichungssysteme lösen. Auch zwei- und dreidimensionale Abbildungen sind mit diesem CAS möglich.

Beim Erweitern von Brüchen werden Zähler und Nenner mit der gleichen von 0 und 1 verschiedenen Zahl multipliziert.
Beim Kürzen von Brüchen werden Zähler und Nenner durch die gleiche von 0 und 1 verschiedene Zahl dividiert.
Im Berechnungsbeispiel können beliebige gemeine Brüche erweitert oder gekürzt werden.

Beim Rechnen mit ganzen Zahlen kann man die Verfahren des Rechnens mit natürlichen Zahlen anwenden; es sind dann immer nur gesonderte Überlegungen zur Ermittlung des Vorzeichens im Ergebnis nötig.
Das Rechenbeispiel umfasst die Grundrechenarten für zwei und mehrere ganze Zahlen. In allen Beispielen können die gegeben Ausgangswerte durch beliebige eigene Werte ersetzt werden, man erhält jeweils das entsprechende Resultat.

Brüche wurden im Zusammenhang mit Teilungsaufgaben sehr früh verwendet, wesentlich früher als z. B. negative Zahlen. Allerdings ging man über den Nenner 12 kaum hinaus. War es dennoch nötig, kleinere Teile zu berechnen, wurde einfach die Einheit verkleinert.

Im Bereich ${\mathbb{Q}}_{+}$ der Brüche (gebrochene Zahlen) sind die Addition, Multiplikation und die Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Die Subtraktion zweier Brüche liefert nur dann wieder einen Bruch, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist.
Das Rechenbeispiel umfasst die Grundrechenarten für zwei Brüche.

Beim Lösen bestimmter physikalischer Aufgaben (Zusammensetzung oder Zerlegung von Kräften, Zusammensetzung von Geschwindigkeiten, Zusammensetzung von Wegen) werden die Sachverhalte in einer maßstäblichen Zeichnung dargestellt und das Ergebnis durch geometrische Konstruktion ermittelt. Aus der geometrischen Konstruktion können dann weitere Folgerungen gezogen werden.

GALILEO GALILEI, italienischer Mathematiker, Physiker und Astronom
* 15.02.1564 Pisa
† 08.01.1642 Florenz

GALILEO GALILEI war Professor für Mathematik in Pisa, Padua und Florenz. Große Entdeckungen machte er auf den Gebieten der Mechanik (u. a. Fall- und Wurfgesetze, Trägheitsgesetz), der Optik (u. a. Bau eines eigenen Fernrohres) und der Astronomie (Entdeckung der vier Jupitermonde). Er war ein Verfechter des heliozentrischen Weltbildes und wurde dafür von der Inquisition ermahnt und zur Abschwörung gezwungen. GALILEI führte das Experiment als wichtige Denk- und Arbeitsweise in die Naturwissenschaften ein.

Geld hat eine lange Geschichte. Das Wort Geld leitet sich aus dem althochdeutschen und mittelhochdeutschen Wort „gelt“ ab, was so viel heißt wie Zahlung, Vergütung, Einkommen, Wert.
Unter dem eigentlichen Begriff Geld versteht man ein geprägtes Zahlungsmittel.
Heute wird Geld unter Aufsicht des Staates geprägt (Münzen) oder als bedrucktes Papier (Geldschein, Banknoten) herausgegeben.
Es ist Tauschmittel, Wertaufbewahrungsmittel, Wertübertragungsmittel sowie Wert- und Preismaßstab.
Die ökonomische und zunehmend politisch-rechtliche Verbindung der meisten europäischen Staaten macht auch eine gemeinsame Währung notwendig. Seit dem Jahre 2002 gibt es in 12 Ländern als einheitliche Währung den Euro (€).

In der Mathematik unterscheidet man skalare und vektorielle Größen. Skalare Größen (Skalare) sind richtungsunabhängig. Zu diesen Größen gehören z. B. Masse, Zeit und Währung.
Größen, bei denen die messbare Eigenschaft sowohl durch einen Betrag als auch durch eine Richtung gekennzeichnet ist, nennt man gerichtete oder vektorielle Größen. Beispiele für solche vektoriellen Größen sind Kraft, Geschwindigkeit oder Beschleunigung.

Als in der geschichtlichen Entwicklung das Nomadentum durch Ackerbau und Viehzucht abgelöst wurde, entstand das Bedürfnis, Längen, Flächen und Massen (Mengen geernteter Früchte) zu messen. Entsprechende Maßsysteme finden sich daher in allen Hochkulturen des Altertums, zuerst bei den Sumeren (3. Jahrtausend v. Chr.).
Als Einheiten benutzte man Körpermaße wie die Länge des Unterarms (Elle) oder des Fußes, die Länge des Schrittes, die Spanne zwischen gestrecktem Daumen und Zeigefinger, die Breite der Hand (Handbreit) oder des Daumens.

HERON VON ALEXANDRIA, er lebte etwa Ende des 1. Jh. in Alexandria, entdeckte ein Verfahren zur Berechnung einer Quadratwurzel, indem er dieses Problem geometrisch interpretierte.
Die Berechnung von x =$\sqrt{\text{A}}$ entspricht der Aufgabe, die Seitenlänge x eines Quadrates bei bekanntem Flächeninhalt A zu ermitteln.
HERON betrachtete eine Folge von Rechtecken, die alle den Flächeninhalt A haben und deren Seitenlängen sich immer mehr annähern, indem er jeweils das arithmetische Mittel der vorhergehenden Seitenlängen berechnete. Dadurch konnte er x durch schrittweise Annäherung beliebig genau bestimmen.

Das Hexadezimalsystem verwendet als Basis die Zahl 16.
Damit werden 16 Grundziffern benötigt.

Irrationale Zahlen können durch eine Folge von Intervallen dargestellt werden. Es ist nun nahe liegend, die Intervalle der entsprechenden Schachtelungen zur Ausführung der Grundrechenarten mit irrationalen Zahlen zu nutzen.

Zur näherungsweisen Bestimmung einer reellen Zahl nutzt man eine Intervallschachtelung. Das Intervallhalbierungsverfahren ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der die Intervalllänge in jedem Schritt halbiert wird. Diese Verfahren ist zwar einfach durchzuführen, aber es erfordert viele Rechenschritte bis man die gewünschte Genauigkeit erzielt hat.

PYTHAGORAS selbst oder einer seiner Schüler entdeckte, dass bei einem Quadrat das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonalenlänge nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Beide Strecken haben kein gemeinsames Maß, sie sind inkommensurabel.
Diese Entdeckung erschütterte ganz erheblich das Weltbild der Pythagoreer, die angenommen hatten, dass sich jedes Phänomen in der Sprache der natürlichen Zahlen formulieren ließe.

Mithilfe der Subtraktion kann man eine interessante Eigenschaft dreistelliger Zahlen entdecken. Nach endlich vielen Rechenoperationen erhält man – unabhängig von der Ausgangszahl – stets 495.
Diese Zahl heißt Kaprekarzahl, nach dem indischen Mathematiker D.R. KAPREKAR, der diese Eigenschaft 1949 fand.

Die Basiseinheit für Längen ist das Meter. Für größere oder kleinere Längen verwendet man Einheiten, die durch Vervielfachen mit Zehnerpotenzen aus dem Meter abgeleitet sind, wie z. B. Kilometer (km), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm), Mikrometer (µm), Nanometer (nm).

Grafikfähige Taschenrechner (GTR) erfüllen alle Funktionen der herkömmlichen elektronischen Taschenrechner, ihr großer Vorteil aber liegt in den vielfältigen grafischen Möglichkeiten dieser Rechner. So lassen sich Funktionen relativ einfach grafisch darstellen, analytische Untersuchungen an den Funktionsgraphen vornehmen (z. B. grafische Bestimmung von Nullstellen, Extrempunkten oder Schnittpunkten) und auch geometrische Figuren zeichnen.
Über spezielle Kabel oder eine Infrarotschnittstelle und dazugehörige Software ist eine Datenübertragung zu einem zweiten Gerät oder zu einem PC problemlos möglich.
Obwohl sich Geräte verschiedener Hersteller in Leistungsumfang und Bedienung durchaus unterscheiden können, stimmen sie in vielen grundlegenden Funktionen überein.

Logarithmen sind im 16. und 17. Jahrhundert von HENRY BRIGGS (1561 bis 1631) und JOHN NAPIER (1550 bis 1617) erfunden worden.
BRIGGS verwendete dabei als Basis die Zahl 10 (dekadische Logarithmen), NAPIER die Zahl e (natürliche Logarithmen).

Die Logarithmengesetze lassen sich zum praktischen Rechnen gut verwenden, weil das Rechnen mit Logarithmen ein Rechnen mit Exponenten (bei gleicher Basis) ist. Damit wird das Multiplizieren bzw. das Dividieren auf das Addieren bzw. das Subtrahieren zurückgeführt. Auch das Potenzieren bzw. Radizieren wird auf das Multiplizieren bzw. Dividieren zurückgeführt.

Die Basiseinheit für die Masse ist das Kilogramm.
Für größere oder kleinere Massen verwendet man Einheiten, die durch Vervielfachen mit Potenzen von 10 aus dem Kilogramm abgeleitet sind, wie z. B. Tonne (t), Dezitonne (dt), Gramm (g) und Milligramm (mg).

Das Verfahren der schriftlichen Multiplikation beruht darauf, dass die Multiplikation kommutativ und assoziativ sowie distributiv bezüglich der Addition ist.
Die folgenden Beispiele sollen das Verfahren verdeutlichen.

Oft ist es nicht möglich oder sinnvoll, für Größen einen genauen Wert anzugeben. Man gibt dann Näherungswerte an.
Bei einem Näherungswert heißen alle Ziffern, die mit denen des genauen Wertes übereinstimmen, zuverlässige Ziffern.

In der Praxis ist es nicht immer möglich noch zweckmäßig, für eine Größe einen absolut genauen Wert anzugeben. Man arbeitet dann mit einem Näherungswert.
Näherungswerte kommen vor

• als Ergebnisse von Schätzungen und Überschlagsrechnungen,
• als Maßzahlen gemessener Größen,
• als Resultate von Rundungen,
• als Angaben für irrationale Zahlen.

Neben der naiven, von Mengenvorstellungen und Anordnungen ausgehenden Gewinnung der natürlichen Zahlen oder einem streng mengentheoretisch fundierten Vorgehen ist auch ein sogenannter axiomatischer Aufbau der natürlichen Zahlen möglich. Dabei wird von Grundsätzen ausgegangen, die in ihrer Gesamtheit einleuchtend, vollständig, zueinander widerspruchsfrei und voneinander unabhängig sein müssen. Diese bilden dann ein Axiomensystem.