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Um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwendet man als Hilfsmittel außer ihrer Definition auch Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln.
Ein Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten ist auch mithilfe des allgemeinen Produkt- oder Multiplikationssatzes und des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeiten möglich. Diese beiden Sätze entsprechen der ersten bzw. zweiten Pfadregel im Baumdiagramm.
Anhand eines Anwendungsbeispieles soll im Folgenden das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten demonstriert werden.

* 08. Februar 1700 Groningen
† 17. März 1782 Basel

Auf mathematischem Gebiet beschäftigte sich DANIEL BERNOULLI vor allem mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Darüber hinaus arbeitete er über Reihen und Differenzialgleichungen.
Seine bedeutendsten wissenschaftlichen Leitungen erzielte er auf dem Gebiet der Hydromechanik, indem ihm die mathematische Beschreibung strömender Flüssigkeiten gelang.

Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt BERNOULLI-Experiment. Die beiden Ergebnisse werden Erfolg bzw. Misserfolg genannt und häufig mit 1 bzw. 0 gekennzeichnet.
Mit einem BERNOULLI-Experiment können zufällige Vorgänge in vielen Lebensbereichen hinreichend beschrieben werden, da oftmals nur interessiert, ob ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist oder nicht.

* 27. Dezember 1654 (6. Januar 1655) Basel
† 16. August 1705 Basel

JAKOB BERNOULLI gilt als einer der Hauptvertreter der Infinitesimalrechnung seiner Zeit. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann entwickelte er den „Leibnizschen Calculus“ weiter.
Mit dem aus seinem Nachlass im Jahre 1713 herausgegebenen Buch „Ars conjectandi“ wurde JAKOB BERNOULLI zum Begründer einer Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Werk wird u.a. die Anwendung der Kombinatorik auf Glücks- und Würfelspiele beschrieben, und das (schwache) Gesetz der großen Zahlen wird formuliert.

• Eine n-fach und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines BERNOULLI-Experiments mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p heißt BERNOULLI-Kette der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p oder kurz BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p.

Dazu betrachten wir im Folgenden ein Anwendungsbeispiel.

Gilt es, Wahrscheinlichkeiten zum Beispiel im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für die Gleichverteilung zu berechnen, werden als Binomialkoeffizienten bezeichnete Terme verwandt. Es sind dies die Koeffizienten, die beim Entwickeln der n-ten Potenz eines Binoms $\left(a+b\right)$ auftreten.
Sie werden u.a. angewandt, um Wahrscheinlichkeiten (etwa im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für Mengen) zu berechnen.

Bei der praktischen Anwendung der Binomialverteilung $B_{n;p}$ treten nicht selten große oder sogar sehr große Werte von n (etwa $n=10000$) auf, wodurch das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten aufgrund der dabei zu ermittelnden Fakultäten und Potenzen sehr zeitaufwendig wird. Schon frühzeitig versuchte man deshalb, Näherungsformeln für die Binomialverteilung zu finden.

Hier ist es (unter bestimmten Voraussetzungen) günstig, die Binomialverteilung durch eine POISSON-Verteilung oder eine Normalverteilung zu approximieren und entsprechende Näherungsformeln anzuwenden.

Kenngrößen von Zufallsgrößen dienen deren quantitativer Charakterisierung. Wir betrachten im Folgenden binomialverteilte Zufallsgrößen.

STANISLAW ULAM (1909 bis 1984), US-amerikanischer Mathematiker polnischer Abstammung
* 03. April 1909 Lemberg (heute: Lwow, Ukraine)
† 13. Mai 1984 Santa Fe (New, Mexico, USA)

STANISLAW ULAM trug maßgeblich zur Entwicklung der ersten Wasserstoffbombe durch die USA bei. Lange Jahre arbeitete er eng mit JOHN VON NEUMANN zusammen.
ULAM gilt als Begründer der sogenannten Monte-Carlo-Methode, einer Methode zum Simulieren von Zufallsexperimenten mithilfe von Zufallszahlen.

* 7. September 1707 Montbard (Frankreich)
† 16. April 1788 Paris

GEORGES-LOUIS LECLERC oder (wie er sich ab 1725 nannte) GEORGES-LOUIS LECLERC DE BUFFON wirkte in Paris und war ein äußerst vielseitiger französischer Wissenschaftler. Das Spektrum seiner Forschungen umfasste sowohl Mathematik und naturwissenschaftliche Disziplinen als auch solche Gebiete wie Literatur und Philosophie.
Das von ihm 1733 der Pariser Akademie vorgetragene (und nach ihm benannte) Nadelexperiment zur näherungsweisen Bestimmung von $\pi$ ist das historisch erste Beispiel für die Anwendung der Monte-Carlo-Methode.

* 16. November 1717 Paris
† 29. Oktober 1783 Paris

JEAN BAPTISTE LE ROND D’ALEMBERT war nicht nur ein bedeutender Mathematiker und Physiker des 18. Jahrhundert, sondern auch ein Philosoph der Aufklärung.
Gemeinsam mit DIDEROT gab er die Encyclopédie, eine Sammlung des gesamten Wissens jener Zeit, heraus.

Wir nähern uns dem Begriff der Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen mittels eines Anwendungsbeispiels.

Die Dreiecksverteilung wird in den meisten Lehrbüchern zur Stochastik kaum erwähnt bzw. nur am Rande behandelt. Das mag seinen Grund darin haben, dass diese Verteilung kein eigenständiges, aus der Praxis stammendes Anwendungsgebiet besitzt.
Die erste Abhandlung über diese Form der Verteilung von Zufallsgrößen in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie stammt vom englischen Mathematiker THOMAS SIMPSON (1710 bis 1761), deshalb spricht man mitunter auch von der simpsonschen Verteilung.

Wählt man in der tschebyschewschen Ungleichung $P\left(\left|X-EX\right|\ge \alpha \right)\le \frac{1}{{\alpha }^2}\cdot D^{2}X$ für den Parameter $\alpha$ Vielfache der Standardabweichung $\sigma =DX=\sqrt{E{\left(X-EX\right)}^2}$, setzt man also $\alpha =n\cdot \sigma$, so erhält man:
$P\left(\left|X-EX\right|\ge n\cdot \sigma \right)\le \frac{1}{{\left(n\cdot \sigma \right)}^2}\cdot {\sigma }^2=\frac{1}{n^2}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der von EX um mindestens das n-fache der Standardabweichung $\sigma$ abweicht, ist folglich höchstens $\frac{1}{n^2}$.
Für die Spezialfälle $n=1;2;3$ ergibt sich dann Folgendes:
$\begin{array}{l}P\left(\left|X-EX\right|\ge \sigma \right)\le 1\\ P\left(\left|X-EX\right|\ge 2\sigma \right)\le \mathrm{0,25}\\ P\left(\left|X-EX\right|\ge 3\sigma \right)\le \mathrm{0,}\overline{1}\end{array}$

Diese aus der tschebyschewschen Ungleichung gewonnenen Aussagen werden als $\sigma \text{-}\mathrm{Re}gel$ oder $3\sigma \text{-}\mathrm{Re}gel$ bezeichnet.

In der Praxis hat es sich als günstig und richtig erwiesen von einer derartigen Menge von Ereignissen eines zufälligen Vorgangs, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchte, zu fordern, dass sie die im folgenden gezeigten Bedingungen einer Ereignisalgebra E erfüllt.

Der mathematische Begriff des (zufälligen) Ereignisses ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung.
Ausgehend von der Erfahrung, dass beim Ablauf zufälliger Vorgänge deren Ergebnis im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiss ist, ordnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie jedem Zufallsexperiment eine Ergebnismenge $\Omega$ zu.

• Jede Teilmenge A der Ergebnismenge $\Omega$ eines Zufallsexperiments heißt (zufälliges) Ereignis A.

Spezielle Ereignisse sind das unmögliche und das sichere Ereignis, atomare Ereignisse, Gegenereignisse, unvereinbare sowie unabhängige Ereignisse.

Zwei Ereignisse A und B mit positiver Wahrscheinlichkeit sind genau dann voneinander stochastisch unabhängig, wenn gilt:
$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$
Man kann diesen Ansatz auf endlich oder abzählbar viele Ereignisse ausdehnen, wobei der Einfachheit halber vorausgesetzt wird, dass alle betrachteten Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit besitzen. Dabei ist aber Vorsicht geboten. Es ist zum Beispiel möglich, dass die Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n$ paarweise voneinander unabhängig sind (d.h., je zwei der Ereignisse sind voneinander unabhängig), die Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n$ in ihrer Gesamtheit sind dies aber nicht.

Im Folgenden soll der Begriff der (stochastischen) Unabhängigkeit von zwei Ereignissen A und B  mit positiven Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden.
Die Unabhängigkeit von Ereignissen darf nicht mit der Unvereinbarkeit von Ereignissen verwechselt werden.

Da Zufallsgrößen oftmals sehr komplizierte mathematische Gebilde sind, sucht man nach zahlenmäßigen Kenngrößen, die über die Zufallsgröße Wesentliches aussagen und zugleich aus Beobachtungsdaten zumindest näherungsweise einfach zu bestimmen sind.
Eine derartige Kenngröße ist der Erwartungswert.

• Es sei X eine endliche Zufallsgröße, die genau die Werte $x_i\left(miti\in \left\{1;2;\mathrm{...};n\right\}\right)$ annehmen kann, und zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $P\left(X=x_i\right)$. Dann nennt man die folgende Kenngröße den Erwartungswert der Zufallsgröße X:
  $EX=x_1\cdot P\left(X=x_1\right)+x_2\cdot P\left(X=x_2\right)+\mathrm{...}+x_n\cdot P\left(X=x_n\right)$

Anmerkung: Für EX schreibt man auch $E\left(X\right),\mu \left(X\right),{\mu }_{X}oder\mu$.

Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechneregeln. Der Einfachheit halber sollen hier nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden.
Erwartungswerte können nach diesen Sätzen, nach Definitionen bzw. durch Simulationen bestimmt werden.

Ein GALTON-Brett dient zum Veranschaulichen von Binomialverteilungen. Es ist nach dem englischen Naturforscher Sir FRANCIS GALTON (1822 bis 1911) benannt.

* 16. Februar 1822 Birmingham
† 17. Januar 1911 Haslemere

GALTON war besonders als Anthropologe tätig, er gilt u.a. als Begründer der Daktyloskopie. Zudem konstruierte er die nach ihm benannte GALTON-Pfeife für Töne im oberen Frequenzbereich bzw. im Bereich des Ultraschalls.
Mit seinem Namen verbunden ist das sogenannte GALTON-Brett, das zur Demonstration der Binomialverteilung verwendet wird.

* 30. April 1777 Braunschweig
† 23. Februar 1855 Göttingen

Der oft als „Princeps mathematicorum“ (Fürst der Mathematik) bezeichnete CARL FRIEDRICH GAUSS erzielte bahnbrechende Leistungen in Mathematik, Physik, Astronomie und Geodäsie.
Auf mathematischem Gebiet beschäftigte er sich vor allem mit Probemen der Zahlentheorie und Algebra sowie mit Fragen der numerischen Mathematik. Durch neue Berechnungsmethoden schuf er die Grundlagen für eine exakte Bestimmung der Planetenbahnen.
Gemeinsam mit dem Physiker WILHELM WEBER trug GAUSS wesentlich zur Erforschung des Erdmagnetismus und zur Aufstellung eines absoluten Maßsystems bei. Weitere erwähnenswerte Leistungen sind die Bestimmung der Lage der Magnetpole der Erde sowie die Entwicklung des elektromagnetischen Telegrafen.

Sarah ist stolz darauf, dass sie am gleichen Tag wie ihr Lieblingsonkel Lutz Geburtstag hat. Das ist für sie Ausdruck einer besonderen Fügung des Schicksals. Etwas enttäuscht ist sie allerdings, als ihr Onkel meint, es sei nicht so außergewöhnlich, dass von den insgesamt 32 lebenden Mitgliedern ihrer Familie zwei am gleichen Tag Geburtstag haben.

Um die Aussage des Onkels zu überprüfen, muss man sich etwas näher mit dem sogenannten Geburtstagsproblem beschäftigen, das auf den österreichischen Mathematiker RICHARD VON MISES (1883 bis 1953) zurückgeht.

Das empirisches Gesetz der großen Zahlen, welches JAKOB BERNOULLI (1655 bis 1705) als „theorema aureum“ (goldenen Satz) bezeichnet hat, lautet folgendermaßen:

• Ist A ein Ereignis eines Zufallsexperiments, so stabilisieren sich bei einer hinreichend großen Anzahl n von Durchführungen dieses Experiments die relativen Häufigkeiten $h_n\left(A\right)$.