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Es sei g mit $y=g\left(x\right)$ eine über ihrem gesamten Definitionsbereich $D_f$ differenzierbare Funktion mit der Ableitung $y^{\prime }=g^{\prime }\left(x\right)$.
Durch Multiplikation der Funktionsgleichung von g mit dem konstanten Faktor $k\in ℝ$ erhält man die Funktion $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$.

Funktionen können in unterschiedlicher Form gegeben sein. Eine der Möglichkeiten ist die Darstellung in Parameterform. Hierbei werden die Variablen x und y aus der Funktionsgleichung y = f(x) unter Verwendung einer Hilfsvariablen, eines Parameters, z.B. t, ausgedrückt. Das heißt also: x = $\varphi (t)$ und y = $\psi (t)$.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Funktionsanpassungen".

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WISSENSTEST

Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwendig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen.

Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion.

Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

Das Vorgehen beim grafischen Lösen von Gleichungen soll im Folgenden durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

* 1786 Bristol, England
† 22. September 1837 Bath, England

Der einzige Beitrag des englischen Lehrers WILLIAM GEORGE HORNER zur Mathematik besteht in der Entwicklung eines Verfahrens zur vorteilhaften Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen.
Dieses bis Mitte des 20. Jahrhunderts (auch in Schulbüchern) häufig benutzte Verfahren ist im heutigen Computerzeitalter allerdings nahezu gegenstandslos.

Mithilfe der l'hospitalschen Regeln lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der Form
$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ mit $f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)=0$
berechnen.

Die Regeln sind nach dem französischen Mathematiker GUILLAUME FRANÇOISE ANTOINE DE L'HOSPITAL benannt und gehen auf diesen bzw. den Schweizer JOHANN BERNOULLI zurück.

* 1661 Paris
† 2. Februar 1704 Paris

GUILLAUME L’HOSPITAL entstammte dem französischen Hochadel und arbeitete sich als Autodidakt in die Mathematik ein. Er war einer der Ersten, der die leibnizsche Infinitesimalrechnung verstand. Sein 1696 veröffentlichtes Werk „Analyse des infiniment petits“ gilt als erstes Buch über Differenzialrechnung.

Mithilfe der l'hospitalschen Regeln lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der Form
$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ mit $f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)=0$
berechnen.
Die zweite Regel stellt eine Erweiterung für Grenzwerte mit $x\to \pm \infty$ dar.

* 14. April 1629 Den Haag
† 8. Juli 1695 Den Haag

CHRISTIAAN HUYGENS war ein äußerst vielseitiger Naturwissenschaftler.
Unter anderem entdeckte er die Doppelbrechung am Kalkspat und erklärte sie mithilfe der Wellennatur des Lichtes.
Auch machte er eine Reihe astronomischer Entdeckungen.
HUYGENS beteiligte sich aktiv an der Lösung mathematischer Probleme seiner Zeit, u.a. schuf er eine erste geschlossene Theorie des Würfelspiels.

Beim Arbeiten mit Tabellen wie Sinus- oder Logarithmentafeln besteht ein Problem darin, zu Werten, die zwischen den tabellierten liegen, entsprechende Funktionswerte (oder auch umgekehrt zu Funktionswerten, die nicht direkt in den Tabellen vorkommen, die entsprechenden Argumente) zu ermitteln.

Dies leistet das Verfahren der sogenannten linearen Interpolation. Hierbei ersetzt man den Graph einer Funktion zwischen den Stellen $x_{1}und{x}_2$ durch eine Gerade und kann so einen Näherungswert für f(x) ablesen.

Der (historisch gesehen) zunächst nur naiv gefasste Begriff der reellen Zahl bedurfte einer exakten Fundierung. Dies gelang RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916), der mithilfe eines Schnittes zwischen zwei rationalen Zahlenmengen zu einer exakten Definition der reellen Zahlen gelangte.

Ein etwas anderes Vorgehen ist die Methode der Intervallschachtelungen, die im Folgenden skizziert wird.

Dabei zeigt sich: Durch eine Intervallschachtelung in der Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen wird genau eine reelle Zahl (als Kern) definiert. In der Menge $ℝ$ der reellen Zahlen besitzt jede Intervallschachtelung als Kern eine reelle Zahl, d.h., $ℝ$ ist abgeschlossen.

Als Kettenlinie bzw. Katenoide (engl. catenary; franz. chainette) wird die Kurve bezeichnet, die durch eine in zwei nicht senkrecht übereinander liegenden Punkten frei aufgehängte Kette gegeben ist. Analytisch ist diese durch die hyperbolische Funktion (Hyperbelfunktion) Cosinus hyperbolicus beschrieben.
Die Drehfläche der Kettenlinie heißt Katenoid (Catenoid).

Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der leibnizschen Schreibweise $\frac{dy}{dx}$ anstelle von $f\text{'}\left(x\right)$ beruhende Notation sehr einprägsam.

Wir vermuten das Folgende: Eine konstante Funktion $f\left(x\right)=c\left(c\in ℝ,aberfest\right)$ besitzt für alle $x\in ℝ$ die Ableitung $f^{\prime }\left(x\right)=0.$

Durchfährt ein Rennfahrer beispielsweise die Grand-Prix-Strecke des Eurospeedway Lausitz, so muss er seinen Wagen durch eine Vielzahl von Links- und Rechtskurven mit dazwischenliegenden „Wendestellen“ lenken.

Die Graphen monotoner Funktionen kann man in ähnlicher Weise auf ihr sogenanntes Krümmungsverhalten bzw. auf Wendestellen untersuchen.

In den Natur- bzw. Technikwissenschaften versucht man, bestehende Sachverhalte mithilfe von Funktionen zu modellieren und zu beschreiben. Um die vorliegenden Zusammenhänge besser zu verstehen, ist es oft hilfreich, den Verlauf der entsprechenden Funktionsgraphen genauer zu untersuchen. Sofern keine Funktionsplotter zur Verfügung stehen, ist es notwendig, typische Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion mithilfe geeigneter Methoden der Analysis zu bestimmen und den Funktionsgraphen danach zu zeichnen.

* 25. Januar 1736 Turin
† 10. April 1813 Paris

JOSEPH LOUIS LAGRANGE hatte entscheidenden Anteil an den in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts bzw. zu Beginn des 19. Jahrhunderts erzielten Fortschritten auf den Gebieten der Analysis bzw. der Mechanik (insbesondere der Himmelsmechanik).
LAGRANGE entwickelte u.a. erste allgemeine Methoden der Variationsrechnung und begründete auf analytischem Wege die Bewegungsgleichungen der Mechanik. Sein wohl bedeutendstes Werk ist die „Mécanique analytique“ (Analytische Mechanik).

* 1. Juli 1646 Leipzig
† 14. November 1716 Hannover

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ war einer der letzen Universalgelehrten der Neuzeit. Bedeutende wissenschaftliche Leistungen vollbrachte er auf mathematischem und philosophischem Gebiet, aber auch als Physiker und Techniker, Geschichts- und Sprachforscher bzw. Jurist.

Bezüglich der Mathematik sind vor allem seine Arbeiten zur Infinitesimalrechnung sowie zur Logik (Formalisierung der Mathematik) zu nennen. Sein um 1675 entwickelter (aber erst ab 1682 publizierter) „Calculus“ enthält Differenziationszeichen, Regeln zum Differenzieren sowie Aussagen zu Extremwerten und Wendepunkten. Auf LEIBNIZ zurück gehen auch das Integralzeichen sowie die Begriffe Differenzial- und Integralrechnung, Funktion und Koordinaten. Schon vor 1683 entwickelte er eine mechanische Rechenmaschine. LEIBNIZ war Begründer und zugleich erster Präsident der Berliner Akademie der Wissenschaften.

Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen Monotonie und 1. Ableitung untersucht werden.

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Näherungsverfahren".

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WISSENSTEST

* 04. Januar 1643 Woolsthorpe
† 20./21. März 1727 London

ISAAC NEWTON gilt als Begründer der klassischen Mechanik. Er entdeckte das Gravitationsgesetz sowie die nach ihm benannten newtonschen Axiome (Trägheitsgesetz, Grundgesetz der Mechanik und Wechselwirkungsprinzip).
NEWTON formulierte – etwa zur gleichen Zeit wie der deutsche Gelehrte GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716) und unabhängig von diesem – Grundthesen der Infinitesimalrechnung. Insbesondere arbeitete er den Zusammenhang von Differenzieren und Integrieren heraus.

Unter einer Potenzfunktion wird eine Funktion mit einer Gleichung der Form $y=f\left(x\right)=x^n\left(x\in ℝ;n\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}\right)$verstanden.

Ihre Ableitung erfolgt mithilfe der Potenzregel der Differenzialrechnung:

• Die Funktion $f\left(x\right)=x^n\left(n\in \mathbb{N};n\ge 1\right)$ ist differenzierbar und $f^{\prime }\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$ gilt.

Im Folgenden soll die Potenzregel der Differenzialrechnung für Potenzfunktionen $f\left(x\right)=x^n$ bewiesen werden.
Über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus ist die Potenzregel auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten n $\left(falls{x}_0\ne 0\right)$, mit rationalen Exponenten n $\left(x>0\right)$ und sogar mit reellen Exponenten n $\left(x>0\right)$ anwendbar. Man nennt diesen Sachverhalt auch die erweiterte Potenzregel.

Im Folgenden soll die Produktregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Produktregel lässt sich auch auf endlich viele Faktoren erweitern.$$

Im Folgenden soll die Quotientenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.$\frac{ }{}$