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Durch den Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) lässt sich der Arbeits- und Zeitaufwand zum Lösen mathematischer Aufgaben wesentlich reduzieren. Die Möglichkeit ihrer Programmierung erweitert den Leistungsumfang beträchtlich. So können mithilfe zusätzlicher Programme verschiedene Problemstellungen „auf Knopfdruck“ bearbeitet werden, die ansonsten eine Vielzahl einzelner Rechenoperationen erforderlich machen.
Im Folgenden werden zu verschiedenen Problemen Programmlistings für grafikfähige Taschenrechner zum Nachnutzen angeboten.

* 22. April 1592 Herrenberg
† 23. Oktober 1635 Tübingen

WILHELM SCHICKHARDT (bzw. SCHICKARD) war Professor (zunächst) für hebräische und orientalische Sprachen sowie (später) für Astronomie und Mathematik an der Universität Tübingen. Er erfand und baute um 1620 die erste mechanische Rechenmaschine.

Zu den hervorgehobenen Fähigkeiten einer Tabellenkalkulation gehören das Zeichnen von Diagrammen und so auch die grafische Darstellung von Funktionen.

Obwohl die unterschiedlichen Kalkulationsprogramme in den Grundfunktionen übereinstimmen, können sie sich in Bezeichnungen und auch in einzelnen Schrittfolgen durchaus voneinander unterscheiden. Die folgenden Beschreibungen beziehen sich deshalb auf die Tabellenkalkulation MS EXCEL.

Die Oberfläche eines Tabellenkalkulationsprogramms enthält als zentrales Element die Kalkulationstabelle. Um sie herum sind Bedienelemente, wie Menü- und Symbolleisten, Statuszeile und Rollbalken, angeordnet.
In die Zellen der Tabelle werden Zahlen, Daten, Texte, Formeln usw. eingegeben, und mit den Bedienelementen werden diese bearbeitet bzw. formatiert. Weitere Bedienelemente ermöglichen das Navigieren in umfangreichen Kalkulationstabellen, das Markieren und Formatieren von Tabellenteilen.

Grafikfähige Taschenrechner (GTR) erfüllen alle Funktionen der herkömmlichen elektronischen Taschenrechner, ihr großer Vorteil aber liegt in den vielfältigen grafischen Möglichkeiten dieser Rechner. So lassen sich Funktionen relativ einfach grafisch darstellen, analytische Untersuchungen an den Funktionsgraphen vornehmen (z.B. grafisches Bestimmen von Nullstellen, von Extrem- oder Schnittpunkten) und auch geometrische Figuren zeichnen.

Der Begriff Tischrechner stellt eine Sammelbezeichnung für Sprossenrad-Rechenmaschinen dar, die (vor allem im 20. Jahrhundert) in unterschiedlicher Ausstattung für den Büro- und Laborbetrieb gebaut wurden.

* 22. Juni 1910 Berlin
† 18. Dezember 1995 Hünfeld

KONRAD ZUSE entwickelte den ersten programmgesteuerten Rechenautomaten auf der Grundlage dualer Zahlendarstellung und gilt damit gewissermaßen als Schöpfer des Computers.

In jedem Punkt $P_0$ einer Kugel gibt es unendlich viele Tangenten, die alle senkrecht zum Radius der Kugel sind. Diese Tangenten bilden die Tangentialebene an die Kugel im Punkt $P_0$.

Durch einen beliebigen Punkt P außerhalb einer Kugel k lassen sich unendlich viele Geraden so legen, dass jede von ihnen eine Tangente der Kugel k ist.
Diese Geraden – also die Tangenten – bilden einen (doppelten) Kreiskegel, den Tangentialkegel der Kugel k mit der Spitze P.
Die Berührungspunkte aller Tangenten, die einen Tangentialkegel bilden, liegen auf einem Kreis, also in einer Ebene.

Im dreidimensionalen Raum gibt es für zwei Geraden g und h folgende Lagemöglichkeiten:

1. g und h sind identisch;
2. g und h sind zueinander (echt) parallel;
3. g und h haben genau einen Punkt gemein (schneiden einander);
4. g und h sind zueinander windschief.

* 20. November 1792 Nishni-Nowgorod
† 12. Februar 1856 Kasan

NIKOLAI IWANOWITSCH LOBATSCHEWSKI gilt neben dem Ungarn JANOS BOLYAI als Begründer der nichteuklidischen Geometrie.
Ausgehend von der Negation des euklidischen Parallelenaxioms gelangte er zur hyperbolischen Geometrie, die heute nach ihm auch lobatschewskische Geometrie genannt wird.

Unter dem Normalenvektor einer Ebene $\epsilon$ im Raum versteht man einen Vektor $\overrightarrow{n}$, der senkrecht zu $\epsilon$ ist.
In der folgenden Abbildung sind mehrere Normalenvektoren zu einer Ebene $\epsilon$ eingezeichnet. Alle diese Normalenvektoren haben dieselbe Richtung und sind damit parallel zueinander, unterscheiden sich jedoch im Richtungssinn und im Betrag.

Unter dem Normalenvektor einer Geraden g in der Ebene versteht man einen Vektor $\overrightarrow{n}$, der senkrecht zu g ist. Die folgende Abbildung zeigt mehrere solcher Normalenvektoren zu einer Geraden g.

In seinem Hauptwerk „Die Elemente“ legt EUKLID VON ALEXANDRIA (etwa 365 bis etwa 300 v.Chr.) einen systematischen Aufbau der Geometrie vor. Dabei spielt das sogenannte Parallelenaxiom eine besondere Rolle.
Zum Ende des 18. Jahrhunderts setzte sich immer mehr die Erkenntnis durch, dass das Parallelenaxiom nicht aus den anderen Axiomen EUKLIDS ableitbar und damit für den Aufbau der euklidischen Geometrie unverzichtbar ist.
Ausgehend von der Negation des Parallelenaxioms gelang es, völlig neue und in sich widerspruchsfreie Geometrien aufzubauen. Der russische Mathematiker LOBATSCHEWSKI und der Ungar JANOS BOLAYI entdeckten unabhängig voneinander zunächst die hyperbolische Geometrie, BERNHARD RIEMANN entwickelte später die elliptische Geometrie.
Speziell gehört es heute zu den aktuellen Fragen der Physik, welche der Geometrien das Universum im Großen am besten beschreibt. Ist es also elliptisch (sphärisch), euklidisch (eben) oder hyperbolisch?

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Schnittwinkel".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Schneiden zwei Geraden $g_{1}und{g}_2$ des Raumes einander in einem Punkt S, so bilden sie in der von ihnen aufgespannten Ebene zwei Paare zueinander kongruenter Scheitelwinkel $\psi bzw.\psi \text{'}$. Den kleineren dieser beiden Winkel nennt man den Schnittwinkel von $g_{1}und{g}_2$.

Schneidet eine Gerade g die Ebene $\epsilon$ im Punkt S, so versteht man unter dem Schnittwinkel $\varphi$ von g und $\epsilon$ den kleinsten Winkel, den eine beliebige Gerade aus $\epsilon$, die durch S geht, mit g bildet.
Für die Berechnung von $\varphi$ wird die Tatsache genutzt, dass $\varphi$ der Komplementwinkel des Winkels $\alpha$ zwischen einem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $\epsilon$ und einem Richtungsvektor $\overrightarrow{a}$ von g ist. Es gilt $\varphi =90°-\alpha$.

Schneiden zwei Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ einander in einer Geraden g, so bezeichnet man als Schnittwinkel $\varphi$ dieser Ebenen den Winkel zwischen denjenigen beiden Geraden, die eine dritte, zur Schnittgeraden senkrechte Ebene aus ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ „herausschneidet“. Man spricht manchmal auch von dem zwischen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ liegenden „Keilwinkel“.

Mithilfe des Spatproduktes kann das Volumen eines Tetraeders ermittelt werden.
Das Spatprodukt lässt sich ferner zur Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene und des Abstands zweier zueinander windschiefer Geraden anwenden.

Eine Abbildung f vom Vektorraum $V_1$ in den Vektorraum $V_2$ heißt genau dann linear, wenn für alle $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in V_1$ und $r\in ℝ$ gilt:
$\begin{array}{ccc}\left(1\right)& f\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=f\left(\overrightarrow{a}\right)+f\left(\overrightarrow{b}\right)& (fistadditiv)\\ \left(2\right)& f\left(r\overrightarrow{a}\right)=rf\left(\overrightarrow{a}\right)& (fist\mathrm{hom}ogen) \end{array}$
$$

Im Folgenden wird als eine spezielle Abbildung der Ebene auf sich selbst, die Inversion am Kreis, betrachtet.
Eine Anwendung der Inversion am Kreis stellt der sogenannte Inversor dar, mit dessen Hilfe eine Kreisbewegung in eine geradlinige Bewegung (oder umgekehrt) umgewandelt werden kann.

Materialflüsse innerhalb einer ökonomischen Einheit drücken technologische und ökonomische Beziehungen zwischen den einzelnen Produktionsebenen aus.
Bei der Planung und Bilanzierung derartiger Wechselbeziehungen wird ein mathematisches Modell mit Matrizen und Vektoren gebildet. Dies ermöglicht es, in komprimierter Form die quantitativen Werte zu erfassen und zu bewerten.

Möglichkeiten der Rangbestimmung einer Matrix M sind das Berechnen der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten durch Anwenden elementarer Matrizenoperationen bzw. das Ermitteln der höchsten Ordnung der nicht verschwindenden Unterdeterminanten von M.

Mithilfe von Matrizen und deren Multiplikation können Nachrichten verschlüsselt werden.
Die Verschlüsselung erfolgt mithilfe einer Codierungsmatrix, die Entschlüsselung mit der dazu inversen Matrix.

Eine Gleichung, bei der die Elemente einer unbekannten Matrix zu bestimmen sind, heißt Matrizengleichung. Die Lösungen der Grundgleichungen $A\cdot X=B,X\cdot A=Bbzw.A\cdot X\cdot B=C$ können sofort angegeben werden. Kompliziertere Gleichungen lassen sich mittels der Matrizenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation (evtl. mit der inversen Matrix) in Grundgleichungen überführen.