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Eine Form der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung ist die Input-Output-Analyse.
Es ist das Verdienst von WASSILY LEONTIEF (1906 bis 1999; Nobelpreis für Ökonomie 1973), Zusammenhänge verschiedener Bereiche der Volkswirtschaft mithilfe von Matrizen(gleichungen) mathematisch erfasst und aufbereitet zu haben.

Um die Inverse einer Matrix zu bestimmen, gibt es zwei prinzipielle Verfahren (Möglichkeiten).
Beim GAUSS-JORDAN-Verfahren wird mithilfe elementarer Matrizenumformungen die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.
Beim Austauschverfahren werden nach einem angegebenen Algorithmus die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht.

Bei Rechenoperationen mit Matrizen sind aufgrund der Entstehungsweise der Matrix als Ergebnis einer Abstraktion inhaltliche und formale Bedingungen einzuhalten.

Eine Addition (bzw. Subtraktion) von Matrizen ist nur für Matrizen gleichen Typs erklärt. Sie erfolgt elementeweise. Die Addition von Matrizen ist kommutativ, assoziativ und umkehrbar. Das skalare Vielfache einer Matrix erhält man, indem jedes Element der Matrix mit dem betreffenden Skalar multipliziert wird.

Neben der Vielfachbildung von Matrizen, d.h. der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (einem Skalar), ist es auch möglich, eine Matrix mit einem Vektor bzw. zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren.
Im Gegensatz zur Vielfachbildung sind diese Multiplikationen allerdings an bestimmte Voraussetzungen hinsichtlich des Typs der Matrizen bzw. der Dimension des Vektors gebunden.

Für die Produktbildung $A\cdot \overrightarrow{c}$ (Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor) muss vorausgesetzt werden, dass die Anzahl der Spalten in der Matrix A mit der Anzahl der Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{c}$ übereinstimmt.
Die Koordinaten des neuen Spaltenvektors, der durch die Multiplikation $A\cdot \overrightarrow{c}$ entsteht, erhält man jeweils als Summe der Koordinatenprodukte eines Zeilenvektors von A und des Spaltenvektors $\overrightarrow{c}$.

* 23.März 1882 Erlangen
† 14.April 1935 Bryn Mawr (USA)

EMMY NOETHER wirkte bis zu ihrer Emigration in die USA vor allem an der Göttinger Universität, dem damaligen mathematischen Zentrum Deutschlands. Durch Betonung des Strukturellen in der Algebra hatte sie entscheidenden Einfluss auf die Entwicklung der modernen Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts.
Zu EMMY NOETHERS Schülern bzw. Diskussionspartnern gehörte eine Reihe namhafter Mathematiker jener Zeit.

Zur Berechnung einer optimalen Transportauslastung mit minimalen Kosten kann ein Verfahren der Matrizenrechnung verwendet werden, das man Decklinienmethode nennt. Es wurde von den ungarischen Mathematikern EGERVARY und KÖNIG entwickelt und wir deshalb mitunter auch ungarische Methode genannt.

Der nach dem englischen Geistlichen THOMAS BAYES (1702 bis 1761) benannte Satz macht Aussagen zum Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Der Satz von Bayes soll im Folgenden anhand eines Anwendungsbeispieles hergeleitet werden.

* 1702 London
† 17. April 1761 Tunbridge Wells, Kent

Der mathematisch interessierte englische Geistliche THOMAS BAYES beschäftigte sich u.a. mit Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Auf ihn geht die sogenannte bayessche Formel zum Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten zurück.

Um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwendet man als Hilfsmittel außer ihrer Definition auch Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln.
Ein Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten ist auch mithilfe des allgemeinen Produkt- oder Multiplikationssatzes und des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeiten möglich. Diese beiden Sätze entsprechen der ersten bzw. zweiten Pfadregel im Baumdiagramm.
Anhand eines Anwendungsbeispieles soll im Folgenden das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten demonstriert werden.

* 08. Februar 1700 Groningen
† 17. März 1782 Basel

Auf mathematischem Gebiet beschäftigte sich DANIEL BERNOULLI vor allem mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Darüber hinaus arbeitete er über Reihen und Differenzialgleichungen.
Seine bedeutendsten wissenschaftlichen Leitungen erzielte er auf dem Gebiet der Hydromechanik, indem ihm die mathematische Beschreibung strömender Flüssigkeiten gelang.

Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt BERNOULLI-Experiment. Die beiden Ergebnisse werden Erfolg bzw. Misserfolg genannt und häufig mit 1 bzw. 0 gekennzeichnet.
Mit einem BERNOULLI-Experiment können zufällige Vorgänge in vielen Lebensbereichen hinreichend beschrieben werden, da oftmals nur interessiert, ob ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist oder nicht.

* 27. Dezember 1654 (6. Januar 1655) Basel
† 16. August 1705 Basel

JAKOB BERNOULLI gilt als einer der Hauptvertreter der Infinitesimalrechnung seiner Zeit. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann entwickelte er den „Leibnizschen Calculus“ weiter.
Mit dem aus seinem Nachlass im Jahre 1713 herausgegebenen Buch „Ars conjectandi“ wurde JAKOB BERNOULLI zum Begründer einer Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In diesem Werk wird u.a. die Anwendung der Kombinatorik auf Glücks- und Würfelspiele beschrieben, und das (schwache) Gesetz der großen Zahlen wird formuliert.

• Eine n-fach und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines BERNOULLI-Experiments mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p heißt BERNOULLI-Kette der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p oder kurz BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p.

Dazu betrachten wir im Folgenden ein Anwendungsbeispiel.

Gilt es, Wahrscheinlichkeiten zum Beispiel im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für die Gleichverteilung zu berechnen, werden als Binomialkoeffizienten bezeichnete Terme verwandt. Es sind dies die Koeffizienten, die beim Entwickeln der n-ten Potenz eines Binoms $\left(a+b\right)$ auftreten.
Sie werden u.a. angewandt, um Wahrscheinlichkeiten (etwa im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für Mengen) zu berechnen.

Bei der praktischen Anwendung der Binomialverteilung $B_{n;p}$ treten nicht selten große oder sogar sehr große Werte von n (etwa $n=10000$) auf, wodurch das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten aufgrund der dabei zu ermittelnden Fakultäten und Potenzen sehr zeitaufwendig wird. Schon frühzeitig versuchte man deshalb, Näherungsformeln für die Binomialverteilung zu finden.

Hier ist es (unter bestimmten Voraussetzungen) günstig, die Binomialverteilung durch eine POISSON-Verteilung oder eine Normalverteilung zu approximieren und entsprechende Näherungsformeln anzuwenden.

Wird ein BERNOULLI-Experiment n-mal durchgeführt, ohne dass sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p ändert, so ist die zufällige Anzahl der Erfolge eine Zufallsgröße X, die die $n+1$Werte $0;1;2;\mathrm{...};n$annehmen kann.
Nach der BERNOULLI-Formel gilt dann:

\(P({genau   k   Erfolge})=P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k=:Bn; p({k})\)

Daraus folgt die Definition der Binomialverteilung.

Kenngrößen von Zufallsgrößen dienen deren quantitativer Charakterisierung. Wir betrachten im Folgenden binomialverteilte Zufallsgrößen.

* 7. September 1707 Montbard (Frankreich)
† 16. April 1788 Paris

GEORGES-LOUIS LECLERC oder (wie er sich ab 1725 nannte) GEORGES-LOUIS LECLERC DE BUFFON wirkte in Paris und war ein äußerst vielseitiger französischer Wissenschaftler. Das Spektrum seiner Forschungen umfasste sowohl Mathematik und naturwissenschaftliche Disziplinen als auch solche Gebiete wie Literatur und Philosophie.
Das von ihm 1733 der Pariser Akademie vorgetragene (und nach ihm benannte) Nadelexperiment zur näherungsweisen Bestimmung von $\pi$ ist das historisch erste Beispiel für die Anwendung der Monte-Carlo-Methode.

* 16. November 1717 Paris
† 29. Oktober 1783 Paris

JEAN BAPTISTE LE ROND D’ALEMBERT war nicht nur ein bedeutender Mathematiker und Physiker des 18. Jahrhundert, sondern auch ein Philosoph der Aufklärung.
Gemeinsam mit DIDEROT gab er die Encyclopédie, eine Sammlung des gesamten Wissens jener Zeit, heraus.

Wir nähern uns dem Begriff der Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen mittels eines Anwendungsbeispiels.

Die Dreiecksverteilung wird in den meisten Lehrbüchern zur Stochastik kaum erwähnt bzw. nur am Rande behandelt. Das mag seinen Grund darin haben, dass diese Verteilung kein eigenständiges, aus der Praxis stammendes Anwendungsgebiet besitzt.
Die erste Abhandlung über diese Form der Verteilung von Zufallsgrößen in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie stammt vom englischen Mathematiker THOMAS SIMPSON (1710 bis 1761), deshalb spricht man mitunter auch von der simpsonschen Verteilung.

Wählt man in der tschebyschewschen Ungleichung $P\left(\left|X-EX\right|\ge \alpha \right)\le \frac{1}{{\alpha }^2}\cdot D^{2}X$ für den Parameter $\alpha$ Vielfache der Standardabweichung $\sigma =DX=\sqrt{E{\left(X-EX\right)}^2}$, setzt man also $\alpha =n\cdot \sigma$, so erhält man:
$P\left(\left|X-EX\right|\ge n\cdot \sigma \right)\le \frac{1}{{\left(n\cdot \sigma \right)}^2}\cdot {\sigma }^2=\frac{1}{n^2}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der von EX um mindestens das n-fache der Standardabweichung $\sigma$ abweicht, ist folglich höchstens $\frac{1}{n^2}$.
Für die Spezialfälle $n=1;2;3$ ergibt sich dann Folgendes:
$\begin{array}{l}P\left(\left|X-EX\right|\ge \sigma \right)\le 1\\ P\left(\left|X-EX\right|\ge 2\sigma \right)\le \mathrm{0,25}\\ P\left(\left|X-EX\right|\ge 3\sigma \right)\le \mathrm{0,}\overline{1}\end{array}$

Diese aus der tschebyschewschen Ungleichung gewonnenen Aussagen werden als $\sigma \text{-}\mathrm{Re}gel$ oder $3\sigma \text{-}\mathrm{Re}gel$ bezeichnet.

In der Praxis hat es sich als günstig und richtig erwiesen von einer derartigen Menge von Ereignissen eines zufälligen Vorgangs, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen möchte, zu fordern, dass sie die im folgenden gezeigten Bedingungen einer Ereignisalgebra E erfüllt.

Der mathematische Begriff des (zufälligen) Ereignisses ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung.
Ausgehend von der Erfahrung, dass beim Ablauf zufälliger Vorgänge deren Ergebnis im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiss ist, ordnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie jedem Zufallsexperiment eine Ergebnismenge $\Omega$ zu.

• Jede Teilmenge A der Ergebnismenge $\Omega$ eines Zufallsexperiments heißt (zufälliges) Ereignis A.

Spezielle Ereignisse sind das unmögliche und das sichere Ereignis, atomare Ereignisse, Gegenereignisse, unvereinbare sowie unabhängige Ereignisse.