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Ein geometrischer Körper ist die Menge aller Punkte, Geraden und Ebenen des dreidimensionalen Raumes, die innerhalb eines vollständig abgeschlossenen Teils dieses Raumes liegen.
Die Summe der Flächeninhalte der Begrenzungsflächen bildet den Oberflächeninhalt, der vollständig umschlossene Raum das Volumen des Körpers.

Unter den Vielflächnern (Polyedern) spielen diejenigen, die nur von regelmäßigen untereinander kongruenten Vielecken (n-Ecken) begrenzt sind, eine besondere Rolle.
Diese regelmäßigen (regulären) Polyeder werden nach dem griechischen Philosophen PLATON (427 bis 347 v. Chr.) als platonische Körper bzw. als kosmische Körper bezeichnet.

Viele Körper in der Realität (z. B. Gebäude, Werkstücke) lassen sich als Summe oder Differenz geometrischer Körper wie Prismen, Zylinder, Pyramiden und Halbkugeln usw. darstellen. Das Volumen bzw. der Oberflächeninhalt zusammengesetzter Körper berechnet sich dann entsprechend als Summe oder Differenz der Volumina bzw. Oberflächeninhalte der geometrischen Körper.

Werden alle Punkte eines Kreises mit einem Punkt S außerhalb der Kreisebene verbunden, so schließen diese Strecken gemeinsam mit dem Kreis einen Körper ein, der Kreiskegel genannt wird. Er hat einen Kreis als ebene Grundfläche und eine gekrümmte Mantelfläche.

Einen Körper mit zwei zueinander kongruenten und parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche nennt man Kreiszylinder. Liegen die Mittelpunkte der Kreisflächen des Zylinders senkrecht übereinander, so handelt es sich um einen geraden Kreiszylinder. Man kann sich einen geraden Kreiszylinder auch durch Rotation eines Rechtecks um eine seiner Seiten entstanden vorstellen.

Kreiszylinder und Prismen können sowohl liegend als auch stehend im Schrägbild bzw. im Zweitafelbild dargestellt werden.
In Kavalierprojektion wird das Schrägbild sehr anschaulich dargestellt.

Bei einer senkrechten Zweitafelprojektion erfolgt die Darstellung gleichzeitig in zwei Ebenen.

Die Kugel ist die Menge aller Punkte des Raums, die von einem festen Punkt M, dem Mittelpunkt der Kugel, den gleichen Abstand r haben. Der Abstand heißt Radius der Kugel.

CHRISTIAN GOLDBACH (1690 bis 1764), deutscher Mathematiker
* 18. März 1690 Königsberg
† 1. Dezember 1764 St. Petersburg

CHRISTIAN GOLDBACH wirkte vor allem in St. Petersburg, so war er u. a. ständiger Sekretär der Petersburger Akademie. Auf mathematischem Gebiet beschäftigte er sich mit zahlentheoretischen Problemen, auf ihn geht die sogenannte goldbachsche Vermutung zurück.

Wird eine Kugel durch eine Ebene oder mehrere Ebenen geschnitten, so entstehen verschiedene Schnittfiguren.
Beim Schnitt einer Kugel durch eine Ebene entstehen zwei Kugelabschnitte (Kugelsegmente). Verläuft diese Schnittebene genau durch den Kugelmittelpunkt, entstehen zwei Halbkugeln.

Zur Herleitung der Formel für das Volumen einer Kugel kann nach einer Idee von GALILEI ein Körper geschaffen werden, der in gleichen Höhen den gleichen Querschnitt wie eine Halbkugel hat. Ein solcher Körper entsteht, wenn man aus einem Kreiszylinder mit dem Grundflächenradius r und der Höhe r einen Kreiskegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe herausschneidet.

APOLLONIOS VON PERGE (um 262 bis 190 v. Chr.), griechisch-hellenistischer Mathematiker und Astronom
* um 262 v. Chr. Perge (Pamphylien, heutige Türkei);
† um 190 v. Chr.

APOLLONIOS VON PERGE, auch „der große Geometer“ genannt, war ein Schüler EUKLIDs. Er beschäftigte sich sowohl mit arithmetischen Berechnungen als auch mit der Statistik. Besonders zu erwähnen ist sein Hauptwerk „Conica“, in dem er die Ergebnisse der antiken Kegelschnittlehre zusammenfasste.
APOLLONIOS lieferte auch wichtige Beiträge zur Astronomie. Speziell wandte er geometrische Modelle auf die Planentenbewegung an.

ARCHIMEDES von Syrakus, griechischer Mathematiker, Physiker und Erfinder
* um 287 v. Chr. Syrakus
† 212 v. Chr. Syrakus

ARCHIMEDES wissenschaftliche Leistungen liegen vor allem auf dem Gebiet der Mathematik und der Naturwissenschaften. Bekannt sind u. a. folgende Schriften von ihm:

• dem Begriff „Schwerpunkt“ von Flächen und Körpern
• Methoden zur Flächeninhalts- und Volumenbestimmung mathematischer Figuren und Körper
• mathematischen Grundlagen physikalischer Prozesse (Hebelgesetz)
• astronomischen Inhalten

FRANCESCO BONAVENTURA CAVALIERI (1598 bis 1647)
* um 1598 Italien
† 1647

CAVALIERI war ein Schüler GALILEIs. Er führte die Gedanken von ARCHIMEDES und KEPLER zur Inhaltsbestimmung von Körpern und Flächen weiter und schuf eine Theorie der „Indivisiblen“ (indivisibel (lat.) – nicht teilbar).

FRANCESCO BONAVENTURA CAVALIERI, ein Schüler GALILEIs, veröffentlichte 1629 das auf seinen Überlegungen beruhende Prinzip des Volumenvergleichs zweier Körper.

Ein Ellipsoid ist ein Rotationskörper, der durch die Rotation einer Ellipse um eine ihrer Hauptsachsen entsteht.

Während bei einer Kugel alle drei räumlichen Ausdehnungen gleich sind, sind diese bei einem Ellipsoid verschieden.

Ausgehend vom allgemeinen Viereck lassen sich Quadrat, Rechteck, Raute (Rhombus), Trapez, Parallelogramm und Drachenviereck aufgrund ihrer speziellen Eigenschaften in einer Übersicht (dem sogenannten Haus der Vierecke) darstellen.

Wie viele andere mathematische Begriffe bildete sich auch der Begriff „Winkel“ zur Beschreibung von Dingen oder Prozessen der Wirklichkeit heraus. Die Vielfalt der praktischen Anforderungen führte zur Entwicklung verschiedener Winkelbegriffe, welche jeweils unterschiedliche Seiten der Wirklichkeit betonen.

Schneiden einander zwei Geraden, so heißen die gegenüberliegenden Winkel Scheitelwinkel und die nebeneinanderliegenden Winkel Nebenwinkel.
Schneiden zwei verschiedene parallele Geraden eine dritte Gerade, so entstehen acht Winkel. Von Interesse sind Beziehungen zwischen je zwei dieser Winkel, die keinen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Die Winkelhalbierenden halbieren die drei Innenwinkel des Dreiecks. Die drei Winkelhalbierenden schneiden einander in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist Mittelpunkt des Kreises, der die drei Dreiecksseiten von innen berührt. Man nennt deshalb diesen Kreis den Inkreis des Dreiecks.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Beziehungen zwischen Figuren".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Im Axiomensystem der ebenen euklidischen Geometrie ist es gebräuchlich, die Kongruenzaxiome durch Axiome der Bewegung zu ersetzen. Bei der Betrachtung der Begriffe Bewegung und Kongruenz sind prinzipiell zwei Wege möglich.

Der berühmte griechische Mathematiker ARCHIMEDES konnte durch eine geschickte physikalische Überlegung als erster die Formel für das Volumen einer Kugel herleiten, indem er die Volumina dreier Körper verglich.

Werden mehr als zwei Ansichten verwendet, spricht man von einem Mehrtafelbild. Zur eindeutigen Darstellung eines Körpers, aus der alle Maße entnommen werden können, sind in der Regel drei Ansichten ausreichend.