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Nullstellen

Jede Zahl x aus dem Definitionsbereich einer Funktion f, für die
f(x) = 0 gilt, nennt man Nullstelle dieser Funktion.

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Polarkoordinatensystem

Ein Polarkordinatensystem besteht aus einem festen Punkt O und einer von diesem Punkt ausgehenden Halbgeraden (Achse). Ein beliebiger Punkt P der Ebene lässt sich dann eindeutig durch Angabe seiner Polarkoordinaten r und ϕ festlegen.

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Satz des Euklid

Die Satzgruppe des Pythagoras, zu der der Satz des Euklid (Kathetensatz) gehört, zählt wegen ihrer großen Bedeutung für Berechnungen und Beweisführungen zu den berühmtesten der Planimetrie.

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Fläche

Die Fläche einer ebenen Figur umfasst alle Punkte, die sich im Inneren oder auf dem Rand der Figur befinden.
Zwei Figuren sind flächengleich (die Flächen sind gleich groß, die Figuren haben den gleichen Flächeninhalt), wenn sie so in Teilflächen zerlegt werden können, dass jede der Teilflächen in jeder Figur enthalten ist.
Zum Bestimmen des Flächeninhalts einer Figur kann diese mit Einheitsflächen, zum Beispiel mit Quadraten, ausgelegt werden. Die Maßzahl gibt dann die Anzahl der Einheitsquadrate an, die zum Auslegen der Figur benötigt werden.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks kann als Produkt der Seitenlängen berechnet werden.

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Lösungsmittel und ihre Eigenschaften

Lösungsmittel sind flüssige Verbindungen, die feste, flüssige und gasförmige Substanzen lösen können, ohne diese oder sich selbst chemisch zu verändern. Bei einem Lösungsvorgang wird die Gitterenergie des Moleküls aufgehoben.
Dabei werden energetisch weniger fest gebundene äußere Moleküle oder Ionen einer Verbindung durch das Lösungsmittel aus dem Kristall herausgelöst, in Form einer Hülle abgefangen und stabilisiert. Ebenso müssen die inneren Kräfte der Lösungsmittelmoleküle überwunden werden.
Die benötigte Energie wird aus der Anziehung zwischen den gelösten Teilchen und dem Lösungsmittel erhalten. Im Fall von Wasser bezeichnet man diesen Vorgang als Hydratisierung, bei anderen Lösungsmitteln als Solvatisierung. Neben Wasser, das sich durch seine Fähigkeit zur dreidimensionalen Ausbildung von Wasserstoffbrücken auszeichnet, werden viele anorganische und organische Flüssigkeiten als Lösungsmittel eingesetzt. Sie gehören zu den nichtwässrigen Systemen und werden nach ihrer Fähigkeit zur Abgabe von Protonen oder anderen Ionen und ihrer Polarität in die Kategorien protisch, aprotisch unpolar und aprotisch polar unterteilt.

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Fakultätsschreibweise

Das Symbol n! (gesprochen: n-Fakultät) wird als abkürzende Schreibweise für das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n definiert. Insbesondere Formeln der Kombinatorik lassen sich mithilfe der Fakultätsschreibweise in rationeller Form angeben.

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Quantitative Elementaranalyse organischer Verbindungen

Die Identifizierung organischer Verbindungen mit einfachen Nachweisreaktionen ist nicht besonders eindeutig ist, da man nur Hinweise auf die Stoffklasse erhält. Deshalb bestimmt man in der Organik die Zusammensetzung der Substanzen quantitativ. Dies ist wesentlich einfacher als in der Anorganik, da die meisten organischen Moleküle aus den Elementen Kohlenstoff, Wasserstoff, Sauerstoff und Stickstoff bestehen. Nur wenige Moleküle enthalten noch weitere Heteroatome wie Halogenatome (F, Cl, Br, I) oder Schwefel und werden noch weiteren Untersuchungen unterzogen.
Bei der Elementaranalyse oder CHN-Analyse werden die Gewichtsprozente der chemischen Elemente in organischen Verbindungen bestimmt und daraus die Verhältnisformel berechnet. Obwohl es sich um eine quantitative Analysenmethode handelt, wird sie zur Identifizierung organischer Substanzen ebenso genutzt wie zur Reinheitsprüfung.

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Prisma

Ein Körper heißt gerades Prisma, wenn er von zwei zueinander kongruenten und parallelen n-Ecken und von n Rechtecken begrenzt wird. Die n-Ecke heißen Grundfläche und Deckfläche des Prismas. Der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe des Prismas.

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Pyramide

Ein Körper heißt Pyramide, wenn er von einem Dreieck, Viereck, Fünfeck usw. als Grundfläche und von Dreiecken als Seitenflächen begrenzt wird, die einen Punkt S gemeinsam haben. Der Punkt S heißt Spitze der Pyramide. Der Abstand der Spitze der Pyramide von der Grundfläche heißt Höhe der Pyramide. Der Fußpunkt der Höhe ist der Fußpunkt des Lotes von der Spitze in die Grundfläche. Die Kanten der Grundfläche nennt man Grundkanten, die Kanten der Seitenfläche heißen Seitenkanten.

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Pyramidenstumpf

Wird eine Pyramide durch eine zur Grundfläche der Pyramide parallele Ebene geschnitten, so entstehen ein Pyramidenstumpf und die zugehörige Ergänzungspyramide.

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Allgemeine Bewegungsgesetze

Bewegungen können auf unterschiedlicher Bahnen in verschiedener Art erfolgen: Sie können geradlinig oder krummlinig verlaufen, können gleichförmig, gleichmäßig beschleunigt oder ungleichmäßig beschleunigt sein. Für alle speziellen Fälle lassen sich die entsprechenden Bewegungsgesetze formulieren.
Man kann die Bewegungsgesetze aber auch so allgemein formulieren, dass fast alle Spezialfälle aus ihnen ableitbar sein. Diese allgemeinen Bewegungsgesetze sind in dem Beitrag dargestellt und erläutert.

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Mechanische Arbeit

Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn ein Körper bzw. ein System durch eine Kraft bewegt oder verformt wird.

Formelzeichen:W
Einheiten:ein Newtonmeter ( 1 Nm)
ein Joule (1 J)

Die mechanische Arbeit beschreibt einen Prozess; sie ist daher im Unterschied zur Energie eine Prozessgröße. In Abhängigkeit von den gegebenen Bedingungen können die verschiedenen Arbeiten mechanischer Arbeit (Hubarbeit, Beschleunigungsarbeit, Reibungsarbeit, Verformungsarbeit) berechnet oder aus einem Kraft-Weg-Diagramm ermittelt werden.

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Arten mechanischer Arbeit

Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn ein Körper oder ein System durch eine einwirkende Kraft bewegt oder verformt wird. Dabei unterscheidet man traditionsgemäß je nach dem betreffenden Vorgang zwischen verschiedenen Arten der Arbeit. Wichtige Arten sind

 
  • die Arbeit beim Heben eines Körpers (Hubarbeit),
 
  • die Arbeit beim Beschleunigen eines Körpers (Beschleunigungsarbeit),
 
  • die Arbeit beim Wirken von Reibungskräften (Reibungsarbeit),
 
  • die Arbeit beim Dehnen einer Feder (Federspannarbeit) und
 
  • die Arbeit beim Komprimieren eines Gases (Volumenarbeit).

Häufig wirken bei einem Vorgang auch mehrere Arten von Arbeit.

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Auftrieb und Auftriebskraft

Befindet sich ein Körper in einer Flüssigkeit oder in einem Gas, so verringert sich scheinbar seine Gewichtskraft. Diese Erscheinung wird als statischer Auftrieb bezeichnet, die der Gewichtskraft entgegen gerichtete Kraft als Auftriebskraft. Für einen Körper, der sich in einer Flüssigkeit oder in einem Gas befindet, gilt:
Die auf einen Körper wirkende Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeits- bzw. Gasmenge (archimedisches Gesetz).
Je nach dem Verhältnis zwischen der nach unten wirkender Gewichtskraft und der nach oben wirkenden Auftriebskraft sinkt, schwebt, steigt oder schwimmt ein Körper.

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Bahnformen und Energie von Satelliten

Künstliche Satelliten können sich auf sehr unterschiedlichen Bahnen um die Erde oder zu anderen Himmelskörpern hin bewegen. Dabei handelt es sich um kreisförmige, elliptische oder parabelförmige Bahnen, die aber durch Triebwerke oder durch den Einfluss von Himmelskörpern verändert werden können.
Bei interplanetaren Flugbahnen sind die HOHMANN-Bahnen von besonderem Interesse.
Bei Swing-by-Manövern nutzt man das Gravitationsfeld und die Eigenbewegung von Himmelskörpern dazu, die Bahn und die Bewegung von Satelliten zu beeinflussen.

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Bernoullisches Gesetz

Für strömende Flüssigkeiten und Gase gilt das bernoullisches Gesetz. Es ist der Energieerhaltungssatz für reibungsfreie Strömungen und besagt:

Die Summe aus dem statischen Druck, dem Schweredruck und dem Staudruck ist für eine reibungsfreie Strömung konstant. Es gilt:
p + p S + p S t = konstant

Daraus ergibt sich bei konstantem Schweredruck ein für die Praxis wichtiger Zusammenhang: Je größer die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit oder eines Gases ist, desto kleiner ist der statische Druck. Das ist der senkrecht zur Strömung gemessenen Druck.
Benannt ist das Gesetz nach seinem Entdecker, dem Schweizer Mathematiker, Physiker und Mediziner DANIEL BERNOULLI (1700-1782).

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Beschleunigung

Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Körpers ändert.

Formelzeichen: a →
Einheit: ein Meter je Quadratsekunde ( 1   m ⋅ s − 2 )


Sie ist eine vektorielle Größe, also ebenso wie Weg und Geschwindigkeit durch Betrag und Richtung bestimmt. Demzufolge liegt eine beschleunigte Bewegung vor, wenn sich bei einer Bewegung

  • der Betrag der Geschwindigkeit oder
  • die Richtung der Geschwindigkeit oder
  • Betrag und Richtung der Geschwindigkeit
    ändern.

Spezielle Arten der Beschleunigung sind die bei der Kreisbewegung auftretende Radialbeschleunigung und die beim freien Fall wirkende Fallbeschleunigung.

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Beschreibung mechanischer Schwingungen

Eine mechanische Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine Ruhelage. Solche Schwingungen kann man

  • in verschiedener Weise aufzeichnen,
  • in einem y-t-Diagramm darstellen oder
  • mithilfe solcher physikalischer Größen wie der Auslenkung, der Amplitude, der Schwingungsdauer (Periodendauer) und der Frequenz charakterisieren.
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Beschreibung mechanischer Wellen

Eine mechanische Welle ist die Ausbreitung einer mechanischen Schwingung im Raum. Beispiele für mechanische Wellen sind Wasserwellen, Schallwellen, Seilwellen oder Erdbebenwellen.
Mechanische Wellen können beschrieben werden

 
  • mit Ort-Zeit- und Weg-Zeit-Diagrammen,

 

  • mit solchen physikalischen Größen wie Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge, Frequenz, Amplitude und Elongation,

 

  • mathematisch mit einer Wellengleichung.
Dabei beschränken wir uns auf die Beschreibung von sinusförmigen Wellen.
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Bremsen

Bremsen bei Fahrzeugen sind für die Betriebssicherheit unerlässlich. Je nach der Bauart unterscheidet man zwischen Trommelbremsen und Scheibenbremsen. In beiden Fällen wird für das Abbremsen von Fahrzeugen die Gleitreibung zwischen speziellen Bremsbelägen und einer Bremstrommel bzw. Bremsscheibe genutzt. Dabei wird mechanische Energie in thermische Energie umgewandelt, die in Form von Wärme an die Umgebung abgegeben wird.

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Dichte von Stoffen

Die Dichte gibt an, welche Masse ein Kubikzentimeter Volumen eines Stoffes hat.

Formelzeichen: ρ
Einheiten:ein Gramm je Kubikzentimeter ( 1 g c m 3 )
 ein Kilogramm je Kubikmeter ( 1 k g m 3 )
 ein Gramm je Liter ( g l )

Die Dichte ist eine für jeden Stoff charakteristische Stoffkonstante. Sie ist abhängig von der Temperatur und vom Druck.

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Drehimpuls

Bei der Translation charakterisiert der Impuls den Bewegungszustand eines Körpers. In analoger Weise lässt sich bei der Rotation der Bewegungszustand eines rotierenden starren Körpers durch die physikalische Größe Drehimpuls kennzeichnen. Der Drehimpuls eines Körpers kann berechnet werden mit der Gleichung:

L → = J ⋅ ω → J Trägheitsmoment des Körpers ω → Winkelgschwindigkeit

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Drehmoment und Drehmomentensatz

Bei Schraubenschlüsseln, Türklinken, Fahrrädern, Flaschenöffnern, Waagen oder Sportgeräten wirken Kräfte auf drehbare Körper. Das Drehmoment oder Kraftmoment ist die analoge Größe zur Kraft. Während die Kraft die Wirkung auf einen Körper beschreibt, der als Massepunkt angesehen werden kann und eine translatorische Bewegung ausführt, beschreibt das Drehmoment die Wirkung einer außerhalb der Drehachse angreifenden Kraft auf einen drehbar gelagerten starren Körper. Diese Wirkung kann durch solche Größen wie Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung beschrieben werden. Für das Drehmoment gilt:

M → = r → × F → und unter der Bedingung , dass die Kraft senkrecht am Hebel angreift , M = r ⋅ F .

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Der Druck

Der Druck gibt an, mit welcher Kraft ein Körper auf eine Fläche von einem Quadratmeter wirkt.

Formelzeichen:p
Einheit:ein Pascal (1 Pa)

Der Druck kann allgemein berechnet werden mit der Gleichung: p = F A
Ein Pascal (1 Pa) ist die Abkürzung für die Einheit ein Newton je Quadratmeter. Benannt ist die Einheit nach dem französischen Mathematiker und Physiker BLAISE PASCAL (1623-1662).
Druck kann in Flüssigkeiten und in Gasen auftreten. Auch feste Körper können auf andere Körper Druck ausüben.

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Eigenschaften mechanischer Wellen im Überblick

Mechanische Wellen, z. B. Wasserwellen oder Schallwellen, haben eine Reihe von charakteristischen Eigenschaften. Sie breiten sich von einem Erreger (Quelle) aus mit einer bestimmten Geschwindigkeit fort. Mit Wellen wird Energie, aber kein Stoff transportiert. Wellen können reflektiert und gebrochen werden. Es können auch Beugung und Interferenz (Überlagerung) auftreten. Darüber hinaus können mechanische Wellen absorbiert, gestreut oder polarisiert werden. Ebenfalls zu beobachten ist bei mechanischen Wellen Dispersion.

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