99 Suchergebnisse

Mitunter wird man mit dem Problem konfrontiert, die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A zu berechnen, das im Zusammenhang mit n verschiedenen Ereignissen $B_i$ auftritt (in der Praxis können die $B_i$ zum Beispiel verschiedene Fälle oder Ursachen von A sein), wobei sich die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $B_i$ und insbesondere für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass jeweils ein $B_i$ eingetreten ist, mitunter leichter angeben bzw. ermitteln lassen.

Gesucht ist also eine Aussage über eine „unbedingte“ Wahrscheinlichkeit, wenn Informationen über bedingte Wahrscheinlichkeiten vorliegen bzw. primär bestimmbar sind. Bei einer solchen Problemsituation wird man versuchen, den im Folgenden angeführten Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anzuwenden.

Bei der Lösung kombinatorischer Probleme sind zwei Zählprinzipien hilfreich – das für k-Tupel und das für Mengen.

Zufallsziffern können genutzt werden zur Simulation von Zufallsexperimenten (Zufallsversuchen). Mithilfe der Randomfunktion von Computern und Taschenrechnern lassen sich (Pseudo-)Zufallszahlen erzeugen.

In jedem Punkt $P_0$ einer Kugel gibt es unendlich viele Tangenten, die alle senkrecht zum Radius der Kugel sind. Diese Tangenten bilden die Tangentialebene an die Kugel im Punkt $P_0$.

Durch einen beliebigen Punkt P außerhalb einer Kugel k lassen sich unendlich viele Geraden so legen, dass jede von ihnen eine Tangente der Kugel k ist.
Diese Geraden – also die Tangenten – bilden einen (doppelten) Kreiskegel, den Tangentialkegel der Kugel k mit der Spitze P.
Die Berührungspunkte aller Tangenten, die einen Tangentialkegel bilden, liegen auf einem Kreis, also in einer Ebene.

Schneiden zwei Geraden $g_{1}und{g}_2$ des Raumes einander in einem Punkt S, so bilden sie in der von ihnen aufgespannten Ebene zwei Paare zueinander kongruenter Scheitelwinkel $\psi bzw.\psi \text{'}$. Den kleineren dieser beiden Winkel nennt man den Schnittwinkel von $g_{1}und{g}_2$.

Schneidet eine Gerade g die Ebene $\epsilon$ im Punkt S, so versteht man unter dem Schnittwinkel $\varphi$ von g und $\epsilon$ den kleinsten Winkel, den eine beliebige Gerade aus $\epsilon$, die durch S geht, mit g bildet.
Für die Berechnung von $\varphi$ wird die Tatsache genutzt, dass $\varphi$ der Komplementwinkel des Winkels $\alpha$ zwischen einem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $\epsilon$ und einem Richtungsvektor $\overrightarrow{a}$ von g ist. Es gilt $\varphi =90°-\alpha$.

Schneiden zwei Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ einander in einer Geraden g, so bezeichnet man als Schnittwinkel $\varphi$ dieser Ebenen den Winkel zwischen denjenigen beiden Geraden, die eine dritte, zur Schnittgeraden senkrechte Ebene aus ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ „herausschneidet“. Man spricht manchmal auch von dem zwischen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ liegenden „Keilwinkel“.

Materialflüsse innerhalb einer ökonomischen Einheit drücken technologische und ökonomische Beziehungen zwischen den einzelnen Produktionsebenen aus.
Bei der Planung und Bilanzierung derartiger Wechselbeziehungen wird ein mathematisches Modell mit Matrizen und Vektoren gebildet. Dies ermöglicht es, in komprimierter Form die quantitativen Werte zu erfassen und zu bewerten.

Um die Inverse einer Matrix zu bestimmen, gibt es zwei prinzipielle Verfahren (Möglichkeiten).
Beim GAUSS-JORDAN-Verfahren wird mithilfe elementarer Matrizenumformungen die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.
Beim Austauschverfahren werden nach einem angegebenen Algorithmus die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht.

Bei Rechenoperationen mit Matrizen sind aufgrund der Entstehungsweise der Matrix als Ergebnis einer Abstraktion inhaltliche und formale Bedingungen einzuhalten.

Eine Addition (bzw. Subtraktion) von Matrizen ist nur für Matrizen gleichen Typs erklärt. Sie erfolgt elementeweise. Die Addition von Matrizen ist kommutativ, assoziativ und umkehrbar. Das skalare Vielfache einer Matrix erhält man, indem jedes Element der Matrix mit dem betreffenden Skalar multipliziert wird.

Neben der Vielfachbildung von Matrizen, d.h. der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (einem Skalar), ist es auch möglich, eine Matrix mit einem Vektor bzw. zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren.
Im Gegensatz zur Vielfachbildung sind diese Multiplikationen allerdings an bestimmte Voraussetzungen hinsichtlich des Typs der Matrizen bzw. der Dimension des Vektors gebunden.

Für die Produktbildung $A\cdot \overrightarrow{c}$ (Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor) muss vorausgesetzt werden, dass die Anzahl der Spalten in der Matrix A mit der Anzahl der Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{c}$ übereinstimmt.
Die Koordinaten des neuen Spaltenvektors, der durch die Multiplikation $A\cdot \overrightarrow{c}$ entsteht, erhält man jeweils als Summe der Koordinatenprodukte eines Zeilenvektors von A und des Spaltenvektors $\overrightarrow{c}$.

• Eine n-fach und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines BERNOULLI-Experiments mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p heißt BERNOULLI-Kette der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p oder kurz BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p.

Dazu betrachten wir im Folgenden ein Anwendungsbeispiel.

Gilt es, Wahrscheinlichkeiten zum Beispiel im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für die Gleichverteilung zu berechnen, werden als Binomialkoeffizienten bezeichnete Terme verwandt. Es sind dies die Koeffizienten, die beim Entwickeln der n-ten Potenz eines Binoms $\left(a+b\right)$ auftreten.
Sie werden u.a. angewandt, um Wahrscheinlichkeiten (etwa im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für Mengen) zu berechnen.

Kenngrößen von Zufallsgrößen dienen deren quantitativer Charakterisierung. Wir betrachten im Folgenden binomialverteilte Zufallsgrößen.

Die Dreiecksverteilung wird in den meisten Lehrbüchern zur Stochastik kaum erwähnt bzw. nur am Rande behandelt. Das mag seinen Grund darin haben, dass diese Verteilung kein eigenständiges, aus der Praxis stammendes Anwendungsgebiet besitzt.
Die erste Abhandlung über diese Form der Verteilung von Zufallsgrößen in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie stammt vom englischen Mathematiker THOMAS SIMPSON (1710 bis 1761), deshalb spricht man mitunter auch von der simpsonschen Verteilung.

Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechneregeln. Der Einfachheit halber sollen hier nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden.
Erwartungswerte können nach diesen Sätzen, nach Definitionen bzw. durch Simulationen bestimmt werden.

Differenzengleichungen bieten einen elementaren mathematischen Zugang zu anspruchsvollen praktischen Fragestellungen, z.B. aus der Populationsdynamik, der Finanzmathematik und der Technik. Das Bearbeiten von Differenzengleichungen umfasst im Wesentlichen das Abarbeiten von iterativen Berechnungsverfahren und rekursiven Bildungsvorschriften, das Finden expliziter Bildungsvorschriften für Folgen, das Lösen von Gleichungssystemen und ähnliche elementare Anforderungen.
Als Beispiele werden aus der Finanzmathematik Ratensparen, Guthabenverrentung und Annuitätendarlehen, aus der Technik die Temperaturanpassung an eine Umgebungstemperatur behandelt.

Die einfache lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung $f\prime \left(x\right)+f\left(x\right)-x=0$ lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wird die Differenzialgleichung nämlich in die Form $f\prime \left(x\right)=x-y$ gebracht, so erkennt man, dass sich die rechte Seite nicht als Produkt $g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ schreiben lässt, was Voraussetzung für das Trennen der Variablen ist.
Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann jedoch ausgehend von der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung gefunden werden.

Eine Population bestehe aus N Individuen. Nach einer Zeit $\Delta t$ ist eine Änderung $\Delta N$ mit $\Delta N=N\left(t+\Delta t\right)-N\left(t\right)$ des Populationsumfangs N zu verzeichnen. Kann die Population ohne Beschränkung wachsen, so ist die Änderung proportional zum Ausgangsumfang – je mehr Individuen vorhanden sind, desto mehr Nachwuchs stellt sich ein. Es gilt also $\Delta N\sim N\text{ oder }\Delta N=kN$ (unbeschränktes Wachstum), wobei k als Wachstumsrate (bei unbeschränktem Wachstum) bezeichnet wird.
Ist das Wachstum durch eine Obergrenze G der Individuenzahl beschränkt, so wird sich bei noch kleiner Individuenzahl ein annähernd unbeschränktes Wachstum einstellen, mit wachsender Zahl N wird die Wachstumsrate jedoch kleiner, um schließlich bei $N=G$ den Wert 0 anzunehmen. Eine Beschränkung kommt beispielsweise zustande, wenn die Population in einem isolierten Gebiet lebt, in dem sich höchstens G Individuen ernähren können.

Die modifizierte Wachstumsrate
$k_b=k\left(1-\frac{N}{G}\right)$
weist das erwartete Verhalten auf.

Als Differenzengleichung ergibt sich
$\Delta N=k_b\cdot N=k\cdot \left(1-\frac{N}{G}\right)\cdot N$
(logistisches Wachstum).

Soll eine explizite Differenzialgleichung $f\prime \left(x\right)=G\left(x;f\left(x\right)\right)$ mit der Anfangsbedingung $f\left(x_0\right)=y_0$ numerisch nach dem Polygonzugverfahren gelöst werden, so benutzt man die Differenzengleichung $\overline{f}\left(x+h\right)=\overline{f}\left(x\right)+h\cdot G\left(x;\overline{f}\left(x\right)\right)$.

Dabei ist $\overline{y}=\overline{f}\left(x\right)$ eine Näherung für die eigentlich gesuchte Funktion $y=f\left(x\right).$

Bei Übergang zur Darstellung der Differenzengleichung als iterative Bildungsvorschrift ergibt sich ${\overline{y}}_{i+1}={\overline{y}}_i+h\cdot G\left(x_i;{\overline{y}}_i\right)$ bzw. ${\overline{y}}_{i+1}={\overline{y}}_i+h\cdot m_i{}^{\left(poly\right)}{\text{ mit m}}_{\text{i}}{}^{\left(poly\right)}=G\left(x_i;{\overline{y}}_i\right)$.

Viele Wachstums- und Zerfallsprozesse in Natur und Technik verlaufen exponentiell. Hierzu gehören u.a. das Wirtschaftswachstum, die Entwicklung von Tierpopulationen bzw. der radioaktive Zerfall. Idealisiert erfolgt eine Beschreibung dieser Prozesse meist durch die Differenzialgleichung $\frac{\text{d}N}{\text{d}t}=-\lambda \cdot N.$
Die Betrachtung realer Wachstumsprozesse in der Natur führt zum mathematischen Modell „Gebremstes Wachstum“. Berücksichtigt man, dass viele Prozesse nicht kontinuierlich, sondern quantenhaft verlaufen, lassen sie sich oftmals besser durch Rekursionsgleichungen beschreiben.

Kegelschnitte können auch in Polarkoordinatendarstellung angegeben werde.
Die Darstellung mithilfe von Polarkoordinaten wird auch benutzt für Spiralen, Schraubenlinien und cassinische Kurven.

Ein Punkt der Ebene kann durch die Angabe von zwei Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem, einem geordneten Zahlenpaar $\left[x;y\right]$, eindeutig beschrieben werden.

Eine weitere Möglichkeit stellt die folgende Vorgehensweise dar:
Ein Ursprungspunkt O wird beliebig festgelegt. Von diesem ausgehend wird ein Strahl gezeichnet. Nun beschreiben der Abstand r des Punktes P von O und der Drehwinkel $\varphi$mit $0°\le \varphi <360°$, um den der Strahl aus seiner Ursprungslage bis zum Punkt P werden muss, die Lage des Punktes P eineindeutig.